প্রদত্ত রাশি, = $\frac{a-b+b(a-b)}{a-b}$ = $\frac{(a-b) \times 1 + b(a-b)}{a-b}$ [লব থেকে (a-b) কমন নেওয়ার সুবিধার জন্য প্রথম অংশে 1 গুণ কল্পনা করে] = $\frac{(a-b)(1+b)}{a-b}$ [লব থেকে (a-b) কমন নিয়ে] = $1 + b$ [লব ও হর থেকে (a-b) বাদ দিয়ে] সুতরাং, নির্ণেয় মান $1 + b$।
বিকল্প বা শর্টকাট উপায়: সরাসরি মনে মনে এভাবে চিন্তা করা যেতে পারে- উপরে দুইটি পদ আছে: একটি $(a-b)$ এবং অপরটি $b(a-b)$। উভয় পদকে হরের $(a-b)$ দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায়: প্রথম অংশ: $\frac{a-b}{a-b} = 1$ দ্বিতীয় অংশ: $\frac{b(a-b)}{a-b} = b$
আমরা জানি, ২টি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু. $\times$ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু.
প্রশ্নমতে, সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু. = ৩৬ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু. = ০৬ এবং একটি সংখ্যা = ১২ ধরি, অপর সংখ্যাটি = ক
শর্তানুযায়ী, ক $\times$ ১২ = ৩৬ $\times$ ০৬ বা, ক = $\frac{৩৬ \times ০৬}{১২}$ বা, ক = ৩ $\times$ ৬ [৩৬ কে ১২ দ্বারা ভাগ করে] $\therefore$ ক = ১৮ সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ১৮।
সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোর লব তুলনা করে পাই, $165 < 168 < 170 < 175$ যেহেতু, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে যার লব ছোট সেই ভগ্নাংশটিই ক্ষুদ্রতম।
সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি হলো $\frac{11}{14}$।
বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট - আড়গুণন পদ্ধতি): পরীক্ষার হলে দ্রুত উত্তর বের করার জন্য দুটি করে ভগ্নাংশ নিয়ে আড়গুণন (Cross Multiplication) করে তুলনা করতে হবে। যে ভগ্নাংশটির লব-এর সাথে গুণফল ছোট হবে, সেটিই ছোট।
ধাপ ১: ১ম ও ২য় ভগ্নাংশের তুলনা $\frac{11}{14}$ এবং $\frac{17}{21}$ $11 \times 21 = 231$ (বামদিকের লব ছোট) $14 \times 17 = 238$ এখানে $231 < 238$, তাই $\frac{11}{14}$ ছোট।
ধাপ ২: ছোটটির সাথে ৩য় ভগ্নাংশের তুলনা $\frac{11}{14}$ এবং $\frac{5}{6}$ $11 \times 6 = 66$ (বামদিকের লব ছোট) $14 \times 5 = 70$ এখানে $66 < 70$, তাই $\frac{11}{14}$ ছোট।
ধাপ ৩: ছোটটির সাথে ৪র্থ ভগ্নাংশের তুলনা $\frac{11}{14}$ এবং $\frac{12}{15}$ $11 \times 15 = 165$ (বামদিকের লব ছোট) $14 \times 12 = 168$ এখানে $165 < 168$, তাই এখানেও $\frac{11}{14}$ ছোট।
সবগুলোর সাথে তুলনা করে দেখা গেল, $\frac{11}{14}$ ভগ্নাংশটিই সবার চেয়ে ক্ষুদ্রতম।
ধরি, বর্গাকার জমির দৈর্ঘ্য = ১০০ একক যেহেতু জমিটি বর্গাকার, তাই এর প্রস্থও = ১০০ একক
বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) = (১০০ × ১০০) বর্গ একক = ১০,০০০ বর্গ একক
জমিটির দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি পেলে, নতুন দৈর্ঘ্য = ১০০ + (১০০ এর ২০%) = ১০০ + ২০ = ১২০ একক
জমিটির প্রস্থ ১০% হ্রাস পেলে, নতুন প্রস্থ = ১০০ - (১০০ এর ১০%) = ১০০ - ১০ = ৯০ একক
তাহলে, জমির পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = (নতুন দৈর্ঘ্য × নতুন প্রস্থ) = (১২০ × ৯০) বর্গ একক = ১০,৮০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেল = (১০,৮০০ - ১০,০০০) বর্গ একক = ৮০০ বর্গ একক
শতকরা বৃদ্ধির হার = $\frac{৮০০}{১০,০০০}$ × ১০০ % = ৮%
উত্তর: ৮% বৃদ্ধি
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলের জন্য): এ ধরণের অংকের ক্ষেত্রে কার্যকর সূত্রটি হলো: শতকরা পরিবর্তন = A + B + $\frac{A × B}{১০০}$
যেখানে, A = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন (বৃদ্ধির জন্য ধনাত্মক, হ্রাসের জন্য ঋণাত্মক) = +২০ B = প্রস্থের পরিবর্তন (হ্রাসের জন্য ঋণাত্মক, বৃদ্ধির জন্য ধনাত্মক) = -১০
মান বসিয়ে পাই, পরিবর্তন = ২০ + (-১০) + $\frac{২০ × (-১০)}{১০০}$ = ২০ - ১০ - $\frac{২০০}{১০০}$ = ১০ - ২ = ৮
যেহেতু উত্তরটি ধনাত্মক (+৮), তাই ক্ষেত্রফল ৮% বৃদ্ধি পাবে।
অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত ৫ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় করতে হলে অঙ্কগুলোকে বড় থেকে ছোট ক্রমে (অধঃক্রমে) সাজাতে হবে।
$\therefore$ বৃহত্তম সংখ্যাটি $= ৪৩২১০$
আবার, অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত ৫ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় করতে হলে অঙ্কগুলোকে ছোট থেকে বড় ক্রমে (ঊর্ধ্বক্রমে) সাজাতে হবে। কিন্তু প্রথমে '০' বসালে সংখ্যাটি ৪ অঙ্কের হয়ে যাবে (যেমন: ০১২৩৪ = ১২৩৪), তাই প্রথমে শূন্য বাদে সবচেয়ে ছোট সার্থক অঙ্কটি বসাতে হবে এবং এরপর ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজাতে হবে।
শর্টকাট টেকনিক: সাধারণ যোগের ক্ষেত্রে আমরা শেষ অঙ্ক (একক স্থানীয় অঙ্ক) যোগ করে দ্রুত উত্তর অনুমান করতে পারি। বৃহত্তম সংখ্যার শেষ অঙ্ক ০ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার শেষ অঙ্ক ৪। তাদের যোগফল: $০ + ৪ = ৪$। অপশনগুলোর মধ্যে ৩টি অপশনের শেষেই ৪ আছে (৫৩৪৪৪, ৫৩২৪৪), তাই আমাকে এরপরের অংকটিও দেখতে হবে। বৃহত্তম সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক ১ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক ৩। তাদের যোগফল: $১ + ৩ = ৪$। অর্থাৎ, উত্তরের শেষ দুই অঙ্ক হবে ৪৪। সঠিক উত্তর ৫৩৪৪৪।
প্রদত্ত রাশি = $(০.০০৪)^২$ = $০.০০৪ \times ০.০০৪$ = $\frac{৪}{১০০০} \times \frac{৪}{১০০০}$ [ দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে ] = $\frac{১৬}{১০০০০০০}$ = $০.০০০০১৬$ সুতরাং, নির্ণেয় মান ০.০০০০১৬।
শর্টকাট টেকনিক: দশমিকের গুণের ক্ষেত্রে দশমিক বিন্দুর ডানে মোট কতটি অঙ্ক আছে তা গুণতে হবে। এখানে, $(০.০০৪)^২ = ০.০০৪ \times ০.০০৪$
১ম ধাপে সংখ্যাগুলোর গুণফল বের করি: $৪ \times ৪ = ১৬$ ২য় ধাপে দশমিকের অবস্থান নির্ধারণ করি: ১ম সংখ্যায় দশমিকের পর অঙ্ক আছে = ৩টি (০০৪) ২য় সংখ্যায় দশমিকের পর অঙ্ক আছে = ৩টি (০০৪) মোট অঙ্ক সংখ্যা = ৩ + ৩ = ৬টি।
অর্থাৎ, গুণফলের ডানদিক থেকে ৬ ঘর বামে দশমিক বসবে। যেহেতু আমাদের হাতে আছে দুইটি সংখ্যা (১৬), তাই বামে আরো ৪টি শূন্য দিয়ে মোট ৬ ঘর পূর্ণ করতে হবে। অতএব, উত্তর হবে: ০.০০০০১৬
এখানে দেখা যাচ্ছে, মোট ক্রয়মূল্য = x/৬ টাকা মোট বিক্রয়মূল্য = x/৬ টাকা
যেহেতু ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্য সমান, তাই লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।
সংশোধন: সাধারণত এই ধরনের অঙ্কে একটি লাভ বা ক্ষতির হার থাকে। কিন্তু নির্দিষ্ট সংখ্যাগুলো (১০, ১৫ এবং ১২) এমনভাবে মিলে গেছে যে এখানে লাভ বা ক্ষতি শূন্য হয়ে যাচ্ছে। সাধারণ নিয়মে: গড় ক্রয়মূল্য প্রতি ২টিতে = (১/১০ + ১/১৫) = (৩+২)/৩০ = ৫/৩০ = ১/৬ টাকা। বিক্রয়মূল্য প্রতি ২টিতে (যেহেতু ১২টায় ১ টাকা, তাই ২টায়) = (১/১২) × ২ = ২/১২ = ১/৬ টাকা। ক্রয়মূল্য (১/৬) = বিক্রয়মূল্য (১/৬)। সুতরাং, লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।
সঠিক উত্তর: লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না
শর্টকাট টেকনিক (MCQ এর জন্য): যদি দুটি ভিন্ন দরে সমান সংখ্যক পণ্য কিনে তাদের গড় দরে বিক্রি করা হয় তবে লাভ বা ক্ষতির সূত্রটি হলো: লাভ/ক্ষতি % = [(বিক্রয় সংখ্যার বর্গ - ক্রয় সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল) / ক্রয় সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল] × ১০০ কিন্তু এই সূত্রটি এখানে জটিল হতে পারে। সহজ লজিক হলো: ১ টাকার ১০টি এবং ১ টাকার ১৫টির ল.সা.গু ৩০। ধরি, ৩০টি করে লিচু কেনা হলো। ৩০টি লিچুর দাম ২ টাকা (১৫টি ১ টাকায়) -> এটি ভুল। ৩০টি লিচুর দাম (১০টি ১ টাকা দরে) = ৩ টাকা ৩০টি লিচুর দাম (১৫টি ১ টাকা দরে) = ২ টাকা মোট ৬০টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ৫ টাকা।
বিক্রয় করার সময়: ১২টি ১ টাকায় হলে, ৬০টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = (৬০/১২) × ১ = ৫ টাকা।
ক্রয়মূল্য ৫ টাকা, বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা। সুতরাং, লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।
দেওয়া আছে, পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = ৭০ বছর। ০৭ বছর পূর্বে তাদের বয়সের সমষ্টি ছিল = ৭০ – (৭ + ৭) বছর [যেহেতু দুজনেরই ৭ বছর করে কম ছিল] = ৭০ – ১৪ বছর = ৫৬ বছর।
প্রশ্নমতে, ৭ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৬ : ১। ধরি, ৭ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল ৬ক বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল ১ক বা ক বছর।
শর্তমতে, ৬ক + ক = ৫৬ বা, ৭ক = ৫৬ বা, ক = ৫৬ / ৭ বা, ক = ৮
সুতরাং, ৭ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = ৬ × ৮ = ৪৮ বছর। এবং ৭ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = ১ × ৮ = ৮ বছর। ∴ বর্তমানে পিতার বয়স = ৪৮ + ৭ = ৫৫ বছর। ∴ বর্তমানে পুত্রের বয়স = ৮ + ৭ = ১৫ বছর। এখন, ০৫ বছর পর পিতার বয়স হবে = ৫৫ + ৫ = ৬০ বছর। এবং ০৫ বছর পর পুত্রের বয়স হবে = ১৫ + ৫ = ২০ বছর। ∴ ৫ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে = ৬০ : ২০ = ৩ : ১
বিকল্প পদ্ধতি (শর্টকাট টেকনিক): বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৭০ বছর। ৭ বছর আগে সমষ্টি ছিল = ৭০ - ১৪ = ৫৬ বছর। অনুপাতের যোগফল = ৬ + ১ = ৭। ৭ বছর আগে ১ অনুপাত বা পুত্রের বয়স ছিল = ৫৬ ÷ ৭ = ৮ বছর। ৭ বছর আগে ৬ অনুপাত বা পিতার বয়স ছিল = ৮ × ৬ = ৪৮ বছর। এখন থেকে ৫ বছর পর মোট সময় পার হবে = ৭ + ৫ = ১২ বছর। ৫ বছর পর পুত্রের বয়স হবে = ৮ + ১২ = ২০ বছর। ৫ বছর পর পিতার বয়স হবে = ৪৮ + ১২ = ৬০ বছর। ∴ নির্ণেয় অনুপাত = ৬০ : ২০ = ৩ : ১
ধরি, মোট ছাত্র সংখ্যা = ১০০ জন দেওয়া আছে, ফুটবল পছন্দ করে = ৭০ জন তাহলে, ফুটবল পছন্দ করে না এমন ছাত্রের সংখ্যা = (১০০ - ৭০) জন = ৩০ জন
হকি পছন্দ করে = ৭৫ জন তাহলে, হকি পছন্দ করে না এমন ছাত্রের সংখ্যা = (১০০ - ৭৫) জন = ২৫ জন
ক্রিকেট পছন্দ করে = ৮০ জন তাহলে, ক্রিকেট পছন্দ করে না এমন ছাত্রের সংখ্যা = (১০০ - ৮০) জন = ২০ জন
এখন, কমপক্ষে ১টি খেলা পছন্দ করে না এমন ছাত্রের সর্বোচ্চ সংখ্যা হলো, আলাদা আলাদাভাবে পছন্দ না করা ছাত্রদের সমষ্টি। সুতরাং, কমপক্ষে ১টি খেলা পছন্দ করে না = (৩০ + ২৫ + ২০) জন = ৭৫ জন
অতএব, ৩টি খেলাই পছন্দ করে এমন ছাত্রের শতকরা পরিমাণ হবে, = (১০০ - ৭৫)% = ২৫%
নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা ২৫%।
শর্টকাট টেকনিক: এই ধরনের অঙ্কের ক্ষেত্রে ৩টি খেলাই পছন্দ করে এমন ছাত্রের সংখ্যা বের করতে হলে, ১০০ থেকে প্রতিটি খেলা অপছন্দ করা ছাত্রের সমষ্টি বিয়োগ করতে হবে। সূত্র: ১০০ - [(১০০ - ১ম বিষয়) + (১০০ - ২য় বিষয়) + (১০০ - ৩য় বিষয়)] = ১০০ - [(১০০ - ৭০) + (১০০ - ৭৫) + (১০০ - ৮০)] = ১০০ - [৩০ + ২৫ + ২০] = ১০০ - ৭৫ = ২৫%
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
প্রশ্নমতে, ৭৫ টাকার মধ্যে ৩০ টাকা ∴ ১ টাকার মধ্যে $\frac{৩০}{৭৫}$ টাকা ∴ ১০০ টাকার মধ্যে $\frac{৩০ \times ১০০}{৭৫}$ টাকা (কাটাকাটি বা লঘুকরণ করে) = $\frac{৩০ \times ৪}{৩}$ টাকা [২৫ দ্বারা ভাগ করে] = $১০ \times ৪$ টাকা [৩ দ্বারা ভাগ করে] = ৪০ টাকা নির্ণেয় শতকরা হার = ৪০%
বিকল্প সমাধান (শর্টকাট টেকনিক): শতকরা পরিমাণ = $\frac{\text{যার পরিমাণ বের করতে হবে}}{\text{মোট পরিমাণ}} \times ১০০\%$ = $\frac{৩০}{৭৫} \times ১০০\%$ = ৪০%
নির্ণেয় ভাগফল:$\frac{bd^2}{ac}$ সঠিক উত্তর: অপশন (4)
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য): শুধু পাওয়ার বা ঘাতগুলোর দিকে খেয়াল করুন। 1. a এর জন্য: উপরে আছে $a^2$, নিচে আছে $a^3$ (ভাগের সময়)। কাটাকাটি করলে নিচে একটা $a$ থাকবে। 2. b এর জন্য: উপরে আছে $b^3$, নিচে আছে $b^2$। কাটাকাটি করলে উপরে একটা $b$ থাকবে। 3. c এর জন্য: নিচে আছে $c^2$, উপরে আছে $c$ (উল্টে যাওয়ার পর)। কাটাকাটি করলে নিচে একটা $c$ থাকবে। 4. d এর জন্য: নিচে আছে $d$, উপরে আছে $d^3$ (উল্টে যাওয়ার পর)। কাটাকাটি করলে উপরে $d^2$ থাকবে। সুতরাং, উপরে থাকছে $b$ ও $d^2$ এবং নিচে থাকছে $a$ ও $c$। অর্থাৎ উত্তর: $\frac{bd^2}{ac}$
'ARRANGE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৭টি। এর মধ্যে দুটি 'A' এবং দুটি 'R' আছে।
ধাপ ১: মোট বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় যদি কোনো শর্ত না থাকে, তবে 'ARRANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে: $ \frac{7!}{2! \times 2!} $ = $ \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} $ = $ \frac{5040}{4} $ = 1260 টি।
ধাপ ২: দুটি 'R' পাশাপাশি রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় এখন, দুটি 'R'-কে একটি বর্ণ (RR) বিবেচনা করলে মোট বর্ণ সংখ্যা হবে (৭ - ২ + ১) = ৬টি। এই ৬টি বর্ণের মধ্যে দুটি 'A' একই জাতীয়। সুতরাং, দুটি 'R' পাশাপাশি রেখে সাজানোর সংখ্যা: $ \frac{6!}{2!} $ = $ \frac{720}{2} $ = 360 টি।
ধাপ ৩: দুটি 'R' পাশাপাশি না রেখে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় আমাদের বের করতে হবে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে 'R'-দুইটি পাশাপাশি না থাকে। এটি বের করতে মোট বিন্যাস থেকে 'R' পাশাপাশি থাকার বিন্যাস বিয়োগ করতে হবে।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = (মোট বিন্যাস) - (দুটি 'R' একত্রে থাকার বিন্যাস) = 1260 - 360 = 900
শর্টকাট মেথড (Gap Method): 'R' দুটিকে পাশাপাশি না রাখতে হলে, প্রথমে 'R' বাদে বাকি বর্ণগুলোকে (A, A, N, G, E) সাজাতে হবে। 'ARRANGE' শব্দে 'R' বাদে বর্ণ আছে ৫টি (A, A, N, G, E)। এদের মধ্যে 'A' আছে ২টি। এদের সাজানোর উপায় = $ \frac{5!}{2!} $ = 60 টি।
এখন, এই ৫টি বর্ণের মাঝে ও দুই প্রান্তে মোট গ্যাপ বা ফাঁকা স্থান সৃষ্টি হয় (৫ + ১) = ৬টি। _ A _ A _ N _ G _ E _ এই ৬টি স্থানে ২টি 'R' বসাতে হবে। যেহেতু 'R' দুটি একই জাতীয়, তাই এদের সাজানোর উপায় হবে: $ ^{6}C_{2} $ (কারণ দুটি একই জিনিস স্থান পরিবর্তন করলে নতুন বিন্যাস হয় না, তাই Permutation না হয়ে Combination হবে, অথবা $ \frac{^{6}P_{2}}{2!} $ হবে) = $ \frac{6 \times 5}{2} $ = 15 টি।
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো এক বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
ধরি, ABC একটি ত্রিভুজ। এর BC, CA ও AB বাহুকে যথাক্রমে D, E ও F পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ফলে, $\angle$ACD, $\angle$BAE এবং $\angle$CBF তিনটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হলো।
$\therefore$ ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে ক্রমান্বয়ে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০°।
শর্টকাট টেকনিক: যেকোনো বহুভুজের (ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ ইত্যাদি) বাহুগুলোকে ক্রমান্বয়ে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি সর্বদা ৩৬০° বা ৪ সমকোণ হবে। এটি একটি সার্বজনীন সূত্র।
মনে করি, খুঁটিটি মাটি হতে $h$ ফুট উঁচুতে ভেঙেছিল। দেওয়া আছে, খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ১৮ ফুট। যেহেতু খুঁটিটি $h$ ফুট উচ্চতায় ভেঙেছে, তাই ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য হবে = $(১৮ - h)$ ফুট।
আমরা জানি, $\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$ বা, $\sin ৩০^\circ = \frac{h}{১৮ - h}$ বা, $\frac{১}{২} = \frac{h}{১৮ - h} \quad [\because \sin ৩০^\circ = \frac{১}{২}]$ বা, $২h = ১৮ - h \quad$ [আড়গুণন করে] বা, $২h + h = ১৮$ বা, $৩h = ১৮$ বা, $h = \frac{১৮}{৩}$ $\therefore h = ৬$ সুতরাং, খুঁটিটি মাটি হতে ৬ ফুট উঁচুতে ভেঙেছিল।
শর্টকাট নিয়ম: এধরনের অংকে যদি ভাঙা অংশ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ৩০° কোণে দণ্ডায়মান অংশের সাথে যুক্ত থাকে, তবে ভেঙে যাওয়ার উচ্চতা সরাসরি বের করার সূত্র হলো: ভাঙা অংশের উচ্চতা = মোট উচ্চতা ÷ ৩
এখানে, মোট উচ্চতা = ১৮ ফুট $\therefore$ ভাঙা অংশের উচ্চতা = $১৮ \div ৩ = ৬$ ফুট।
মনে করি, বৃত্তের আদি ব্যাস = d একক আমরা জানি, ব্যাসার্ধ = ব্যাস / ২ = d/২
সুতরাং, বৃত্তের আদি ক্ষেত্রফল = π(d/২)² = (πd²)/৪ বর্গ একক প্রশ্নমতে, বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করা হলো। সুতরাং, নতুন ব্যাস = ৩d একক তাহলে, নতুন ব্যাসার্ধ = ৩d/২ একক অতএব, বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = π(৩d/২)² = π(৯d²/৪) = ৯ × (πd²/৪) = ৯ × (আদি ক্ষেত্রফল) সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ করলে ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
শর্টকাট টেকনিক: বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধ যত গুণ বৃদ্ধি পাবে, তার ক্ষেত্রফল ঐ সংখ্যার বর্গ (Square) গুণ বৃদ্ধি পাবে। এখানে ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পেয়েছে। সুতরাং, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = (৩)² গুণ বা ৯ গুণ।
এখানে, আমাদের ১ থেকে ০.০৯৯৯ বিয়োগ করতে হবে। বিয়োগের সুবিধার্থে দশমিকের পরে শূন্য বসিয়ে সংখ্যাগুলোর ঘর সমান করে নিই। ১.০০০০ – ০.০৯৯৯ ---------------- ০.৯০০১ ধাপ ১: সর্বডানের শূন্য থেকে ৯ বিয়োগ করা যায় না, তাই শূন্যকে ১০ ধরতে হবে। ১০ থেকে ৯ বিয়োগ করলে ১ থাকে। (হাতে থাকে ১)
ধাপ ২: পরবর্তী ৯-এর সাথে হাতের ১ যোগ করলে হয় ১০। উপরের শূন্যকে ১০ ধরলে, ১০ থেকে ১০ বিয়োগ করলে ০ থাকে। (হাতে থাকে ১)
ধাপ ৩: একইভাবে পরবর্তী ৯-এর সাথে হাতের ১ যোগ করলে ১০ হয়। উপরের শূন্যকে ১০ ধরে ১০ থেকে ১০ বিয়োগ করলে ০ থাকে। (হাতে থাকে ১)
ধাপ ৪: এরপরের শূন্যের সাথে হাতের ১ যোগ করলে ১ হয়। উপরের শূন্যকে ১০ ধরলে, ১০ থেকে ১ বিয়োগ করলে ৯ থাকে। (হাতে থাকে ১)
ধাপ ৫: দশমিকের বামে ১ থেকে হাতের ১ বিয়োগ করলে ০ হয়। সুতরাং, নির্ণেয় বিয়োগফল = ০.৯০০১
শর্টকাট টেকনিক: পরীক্ষার হলে সহজে করার জন্য পূর্ণসংখ্যা ১-কে ০.৯৯৯৯ + ০.০০০১ হিসেবে চিন্তা করতে পারেন। যেহেতু ১ = (০.৯৯৯৯ + ০.০০০১), তাই ০.৯৯৯৯ এর চেয়ে ১ কতটুকু বড়? ০.০০০১ পরিমাণ। কিন্তু এখানে বিয়োগ করতে হবে ০.০৯৯৯।
সহজ উপায় হলো শেষ অঙ্কটি খেয়াল করা। এখানে, ১.০০০০ – ০.০৯৯৯। শেষের অঙ্কটি হবে ১০ – ৯ = ১। অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র ‘অপশন ১’ (০.৯০০১)-এর শেষ অঙ্কটি ১। তাই উত্তরটি সরাসরি ০.৯০০১ দাগানো যায়।
এখন, x এর পরিবর্তে 0 বসিয়ে পাই, f(0) = (0)3 - 2(0) + 10 বা, f(0) = 0 - 0 + 10 $\therefore$ f(0) = 10 সুতরাং, নির্ণেয় মান 10
শর্টকাট নিয়ম: বহুপদী রাশিতে যদি ধ্রুবপদ ছাড়া সব পদে x থাকে এবং x = 0 এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়, তবে উত্তর হবে সরাসরি ওই ধ্রুবপদটি (Constant term)। এখানে ধ্রুবপদ হলো 10। তাই উত্তর 10।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মান নির্ণয় করে পাই, ১ম সংখ্যা = √০.৩ = √(০.৩০) = ০.৫৪৭৭... (প্রায়) ২য় সংখ্যা = ০.৩ ৩য় সংখ্যা = ০.২ ৪র্থ সংখ্যা = √০.২ = √(০.২০) = ০.৪৪৭২... (প্রায়)
প্রাপ্ত মানগুলোর তুলনা করে দেখা যায়, ০.৫৪৭৭ > ০.৪৪৭২ > ০.৩ > ০.২ অর্থাৎ, √০.৩ > √০.২ > ০.৩ > ০.২
সুতরাং, প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হলো √০.৩।
শর্টকাট টেকনিক: দশমিক সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করার সহজ উপায় হলো দশমিকের পরে অন্তত দুই ঘর বিবেচনা করা এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যার সাথে তুলনা করা। যেমন: √০.৩ ≈ √৩০ (মনে মনে দশমিক উপেক্ষা করে) ⇒ ৫ এর বর্গ ২৫, ৬ এর বর্গ ৩৬। তাই এর মান ০.৫ এর চেয়ে বড় হবে। √০.২ ≈ √২০ (মনে মনে দশমিক উপেক্ষা করে) ⇒ ৪ এর বর্গ ১৬, ৫ এর বর্গ ২৫। তাই এর মান ০.৪ এর চেয়ে বড় হবে। স্পষ্টতই, ০.৫... সংখ্যাটি ০.৩, ০.২ এবং ০.৪... এর চেয়ে বড়। তাই, সবথেকে বড় সংখ্যাটি √০.৩।
- যে সব প্রাকৃতিক সম্পদ ব্যবহারের পর নিঃশেষ হয়ে যায় না এবং পুনরায় ব্যবহার করা যায় তাদেরকে নবায়নযোগ্য সম্পদ (Renewable resources) বলে।
- সূর্যের আলো, বায়ু প্রবাহ, জোয়ার-ভাটা এবং পানি বিদ্যুৎ হলো নবায়নযোগ্য শক্তির প্রধান উৎস।
- প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে পেট্রোল এবং প্রাকৃতিক গ্যাস হলো জীবাশ্ম জ্বালানি বা অনবায়নযোগ্য শক্তি, যা একবার ব্যবহার করলে শেষ হয়ে যায়।
- কমলা একটি ফল, তাই এটি জ্বালানী হিসেবে বিবেচ্য নয়।
- পরমাণু শক্তি বা নিউক্লিয়ার এনার্জি সাধারণত অনবায়নযোগ্য হিসেবে ধরা হয় কারণ ইউরেনিয়াম খনি থেকে আহরণ করতে হয় এবং এটি সীমিত। তবে অনেক আধুনিক সংজ্ঞায় এবং প্রশ্নে একে নবায়নযোগ্য বা 'ক্লিন এনার্জি'র বিকল্প উৎস হিসেবে বিবেচনা করা হয় কারণ এটি কার্বন নিঃসরণ করে না এবং অল্প পরিমাণ জ্বালানি থেকে বিপুল শক্তি দীর্ঘ সময় ধরে পাওয়া যায়। তাই বিকল্পগুলোর মধ্যে এটিই সঠিক উত্তর হিসেবে গণ্য হয়।
সঠিক উত্তর: ক ও খ উভয়ই - ১৯৪৪ সালে আমেরিকার নিউ হ্যাম্পশায়ারের ব্রেটন উডস নামক স্থানে একটি সম্মেলন অনুষ্ঠিত হয়। - এই সম্মেলনের মাধ্যমে দুটি আন্তর্জাতিক সংস্থা প্রতিষ্ঠিত হয়: ১. আন্তর্জাতিক মুদ্রা তহবিল (IMF) ২. বিশ্বব্যাংক (World Bank) - একই স্থান ও সম্মেলনের মাধ্যমে জন্ম নেওয়ায় এই দুটি সংস্থাকে ব্রেটন উডস ইনস্টিটিউট বা ব্রেটন উডস টুইনস বলা হয়। - এই দুটি সংস্থারই সদর দপ্তর যুক্তরাষ্ট্রের ওয়াশিংটন ডি.সি.-তে অবস্থিত।
অন্যদিকে, - এশীয় উন্নয়ন ব্যাংক (ADB) এই সম্মেলনের অংশ ছিল না, এটি ১৯৬৬ সালে প্রতিষ্ঠিত হয়।
- অনানুষ্ঠানিক শিক্ষা বা ইনফরমাল এডুকেশন হলো এমন এক শিক্ষা ব্যবস্থা যা কোনো সুনির্দিষ্ট নিয়ম বা প্রতিষ্ঠান ছাড়াই অর্জিত হয়।
- জন্ম থেকে মৃত্যু পর্যন্ত মানুষ তার পরিবার, সমাজ, কর্মক্ষেত্র এবং চারপাশের পরিবেশ থেকে প্রাকৃতিকভাবে এই শিক্ষা লাভ করে।
- এটি বাস্তব অভিজ্ঞতা, পর্যবেক্ষণ এবং সামাজিক মিথস্ক্রিয়ার মাধ্যমে জীবনব্যাপী চলতে থাকে এবং এর কোনো নির্দিষ্ট পাঠ্যক্রম নেই।
- আনুষ্ঠানিক শিক্ষা (স্কুল-কলেজ) এবং উপানুষ্ঠানিক শিক্ষার (বয়স্ক শিক্ষা বা প্রশিক্ষণ কেন্দ্র) বাইরে মানুষের ব্যক্তিত্ব বিকাশে এই শিক্ষার ভূমিকা অপরিসীম।
- উদাহরণস্বরূপ, বড়দের সম্মান করা, সাঁতার কাটা, বা কৃষি কাজ শেখা—এসবই অনানুষ্ঠানিক শিক্ষার অংশ।
- গণপ্রজাতন্ত্রী বাংলাদেশের সংবিধানের দ্বিতীয় ভাগে রাষ্ট্র পরিচালনার মূলনীতি সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। - ১৭ নং অনুচ্ছেদ অনুযায়ী, রাষ্ট্র একই পদ্ধতির গণমুখী ও সার্বজনীন শিক্ষা ব্যবস্থা প্রবর্তন করবে। - এই অনুচ্ছেদে আইন দ্বারা নির্ধারিত স্তর পর্যন্ত সকল শিশুর জন্য অবৈতনিক ও বাধ্যতামূলক শিক্ষা নিশ্চিত করার কথা উল্লেখ রয়েছে। - এছাড়া সমাজের প্রয়োজনের সাথে শিক্ষাকে সঙ্গতিপূর্ণ করার এবং নিরক্ষরতা দূর করার জন্যও কার্যকর ব্যবস্থা গ্রহণের কথা বলা হয়েছে। - ১৫ নং অনুচ্ছেদে মৌলিক প্রয়োজনাদি (অন্ন, বস্ত্র, আশ্রয়, শিক্ষা ও চিকিৎসা) ব্যবস্থার কথা বলা হয়েছে। - ১৮ নং অনুচ্ছেদে জনস্বাস্থ্য ও নৈতিকতা সম্পর্কে এবং ১৯ নং অনুচ্ছেদে সুযোগের সমতা নিশ্চিত করার বিষয়ে আলোচনা করা হয়েছে।
- বাংলাদেশ ক্রিকেট দল ২০০০ সালে আন্তর্জাতিক ক্রিকেট কাউন্সিলের পূর্ণ সদস্যপদ লাভ করে এবং এর মাধ্যমে ১০ম টেস্ট খেলুড়ে দেশ হিসেবে মর্যাদা পায়। - ২৬শে জুন ২০০০ সালে লন্ডনস্থ আইসিসির সভায় বাংলাদেশকে টেস্ট স্ট্যাটাস দেওয়ার সিদ্ধান্ত চূড়ান্ত হয়। - একই বছরের ১০ নভেম্বর ঢাকায় বঙ্গবন্ধু জাতীয় স্টেডিয়ামে ভারতের বিপক্ষে বাংলাদেশ তাদের প্রথম এবং অভিষেক টেস্ট ম্যাচ খেলে। - এই ঐতিহাসিক টেস্ট ম্যাচে বাংলাদেশ দলের অধিনায়ক ছিলেন নাঈমুর রহমান দুর্জয় এবং ভারতের অধিনায়ক ছিলেন সৌরভ গাঙ্গুলী। - বাংলাদেশ ১৯৯৭ সালে আইসিসি ট্রফি জেতার মাধ্যমে প্রথমবারের মতো ১৯৯৯ সালের বিশ্বকাপে খেলার যোগ্যতা অর্জন করেছিল।
- সামাজিক বিকাশ বলতে সাধারণত শিশুর অন্যদের সাথে মেলামেশা ও সম্পর্ক গড়ে তোলার ক্ষমতাকে বোঝায়। - বন্ধুদের সাথে খেলাধুলা করার মাধ্যমে শিশুর সহযোগিতা, ভাগ করে নেওয়া এবং সহমর্মিতার মতো সামাজিক দক্ষতাগুলো বৃদ্ধি পায়। - তাই বন্ধুদের সাথে খেলাধুলা করা একটি শিশুর সামাজিক মিথষ্ক্রিয়া বা সামাজিক বিকাশের অন্যতম প্রধান উদাহরণ। - অন্যদিকে পড়াশোনায় ভালো ফল করা বা ছবি আঁকা মূলত শিশুর বুদ্ধিবৃত্তিক বা সৃজনশীল বিকাশের সাথে সম্পর্কিত। - শ্রেণিকক্ষে নির্দেশ মেনে চলা শিশুর নিয়মানুবর্তিতার অংশ হলেও, বন্ধুদের সাথে খেলাধুলাই সরাসরি সামাজিক সম্পর্ক তৈরিতে সাহায্য করে।
- ১৯৯০ সালে বাংলাদেশে বাধ্যতামূলক প্রাথমিক শিক্ষা আইন পাস করা হয়। - এই আইনের মূল উদ্দেশ্য ছিল সব শিশুর জন্য প্রাথমিক শিক্ষা নিশ্চিত করা। - আইনটি পাস হওয়ার পর ১৯৯২ সালের ১লা জানুয়ারি থেকে ৬৮টি উপজেলায় এটি প্রথম চালু করা হয়। - পরবর্তীতে ১৯৯৩ সালের ১লা জানুয়ারি থেকে সারা দেশে এই বাধ্যতামূলক প্রাথমিক শিক্ষা কার্যক্রম সম্প্রসারিত হয়।
ফ্রিতে ২ লাখ প্রশ্নের টপিক, সাব-টপিক ভিত্তিক ও ১০০০+ জব শুলুশন্স বিস্তারিতে ব্যাখ্যাসহ পড়তে ও আপনার পড়ার ট্র্যাকিং রাখতে সাইটে লগইন করুন।
✅চাকরি পরীক্ষার আপডেট ============================= ১। ২৩ তারিখের অফিসার জেনারেল পিছিয়ে ৩১ তারিখ বিকাল হবে ৩-৪টা।
✅ ১৯তারিখ থেকে ৫০তম বিসিএস ফুল মডলে টেস্ট ১০টি নেওয়া হবে।
✅প্রাইমারী, নিবন্ধন বা ১১তম-২০তম গ্রেডের যেকোনো চাকরি জন্য প্রশ্ন ব্যাংক লেগে থেকে শেষ করুন। অ্যাপ এর প্রশ্ন ব্যাংক থেকে ১০০% কমন আসবে। বাকি চাকরি পরীক্ষা জন্য ৭০%-৮০% কমন আসবে। আপনার চর্চার সময় আপনার ভুল প্রশ্ন, বুকমার্ক প্রশ্ন সব ডাটাবেজে জমা থাকে। মনে করুন বাংলা সাহিত্য ৪০০০ প্রশ্ন আছে, আপনি একবার ভালো করে পড়বেন, এর মধ্যে দেখবেন ৪০% প্রশ্ন আপনার জানা, যেগুলো কখনও ভুল হবে না, বাকি আছে ৬০%, এই প্রশ্নগুলো আলাদা বাটনে জমা হয়, যেগুলো আপনি ভুল করছেন, এখন এইগুলো ভালো করে রিভিশন দিন। এতে সহজে কম সময় প্রস্তুতি শেষ হবে। যারা একেবারে নতুন তারা জব শুলুশন্স বাটন দিয়ে শুরু করতে পারেন।
✅ব্যাংক নিয়োগ প্রস্তুতি'র লং কোর্স (রুটিনের জন্য পিডিএফ বাটন দেখুন) - পরীক্ষা শুরুঃ ১০ নভেম্বর। - মোট পরীক্ষাঃ ১২৮টি, - টপিক ভিত্তিকঃ ১১২টি, - রিভিশন পরীক্ষাঃ ২২টি, - Vocabulary রিভিশনঃ ৩বার
অ্যাপ এর হোম screen -এ পিডিএফ বাটন ক্লিক করুন, এখান থেকে রুটিন ডাউনলোড করতে পারবেন। রুটিনের তারিখ অনুযায়ী পরীক্ষা রাত ১২ থেকে ২৪ ঘণ্টার মধ্যে যেকোন সময় দিতে পারবেন, ফলাফল সাথে সাথে বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ দেওয়া হয়। missed পরীক্ষাগুলো আর্কাইভ থেকে দিতে পারবেন, তবে মেরিট লিস্ট আসবে না, মেরিট লিস্টে থাকতে হলে রুটিন অনুযায়ী নির্দিষ্ট তারিখে দিতে হবে। আর্কাইভ থেকে পরীক্ষা দিতে হলে ভিজিট করুনঃ অ্যাপ এর হোম স্ক্রীনে 'পরীক্ষার সেকশন' বাটনে ক্লিক করুন -> বিসিএস বাটন -> [ফ্রি কোর্স] ৫০তম বিসিএস প্রিলি ২২০ দিনের সেকশনের All Exam বাটন ক্লিক করুন -> এখান Upcoming, Expired ট্যাব পাবেন।
✅ প্রধান শিক্ষক প্রস্তুতি - লেকচারশীট ভিত্তিকঃ রুটিন আপলোড করা হয়েছে। পরীক্ষা শুরুঃ ১৫ আগস্ট। মোট পরীক্ষাঃ ৫৮টি
✅ আপকামিং রুটিনঃ
- ১০০ দিনের বিসিএস বিষয়ভিত্তিক প্রস্তুতি। - অগ্রদূত বাংলা বই অনুসারে বাংলা সাহিত্য ও ভাষা রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।। - English মাস্টার বই অনুসারে রুটিনে টপিক ও বইয়ের পৃষ্ঠা নম্বর উল্লেখ থাকবে।
