'AMERICA' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে যাতে দুটি 'A' কখনও পাশাপাশি না থাকে?

'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলোকে শর্তসাপেক্ষে সাজানোর পদ্ধতি নিচে দেওয়া হলো:
- শব্দটিতে মোট অক্ষরের সংখ্যা: ৭টি (A, M, E, R, I, C, A)
- এর মধ্যে 'A' আছে ২টি এবং বাকি ৫টি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন。

দুটি 'A' একত্রে না রেখে সাজানোর উপায় বের করতে হলে, প্রথমে মোট সাজানোর উপায় থেকে দুটি 'A' সবসময় একত্রে রাখার উপায়টি বাদ দিতে হবে。

- মোট সাজানোর উপায় (Total Permutations):
যেহেতু মোট ৭টি বর্ণ এবং এর মধ্যে ২টি 'A' একই রকম, তাই মোট সাজানোর উপায়:
= 7! / 2!
= (7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) / 2
= 5040 / 2 = 2520 উপায়ে。

- দুটি 'A' সর্বদা একত্রে রেখে সাজানোর উপায়:
২টি 'A' কে একত্রে ১টি অক্ষর বা ব্লক হিসেবে বিবেচনা করি。
তাহলে বাকি ৫টি বর্ণ (M, E, R, I, C) এবং 'A' এর ১টি ব্লক মিলে মোট বর্ণ হবে ৬টি。
এই ৬টি বর্ণকে সাজানো যায় 6! উপায়ে。
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 উপায়ে。
(উল্লেখ্য, ব্লকের ভেতরের ২টি 'A' একই হওয়ায় এদের নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় 2!/2! = 1, তাই আলাদা করে গুণ করার প্রয়োজন নেই)।
সুতরাং, দুটি 'A' একত্রে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৭২০。

- দুটি 'A' কখনও পাশাপাশি (একত্রে) না রেখে সাজানোর উপায়:
দুটি 'A' একত্রে না রেখে সাজানোর উপায় = মোট সাজানোর উপায় - দুটি 'A' একত্রে রেখে সাজানোর উপায়
= 2520 - 720 = 1800

অতএব, শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট ১৮০০ উপায়ে সাজানো যাবে যাতে দুটি 'A' কখনও পাশাপাশি না থাকে।