বাংলাদেশ রেলওয়ে (সহকারী স্টেশন মাস্টার) - ১৬.০৫.২০২৬ — MCQ প্রশ্ন ও উত্তর

ক) তামা ও লোহা খ) অনো ও টিন গ) টিন ও দস্তা ঘ) লোহা ও দস্তা

ব্যাখ্যা (Explanation)

• সংকর ধাতু ব্রোঞ্জ (Bronze)-এর প্রধান উপাদান হলো তামা (Copper) ও টিন (Tin) (প্রশ্নের অপশনে 'অনো' শব্দটি মূলত টাইপিং মিসটেক, এটি 'তামা' হবে)।
• ব্রোঞ্জ ধাতু মানুষের কাছে কাঁসা নামেও বহুল পরিচিত।
• সাধারণত ৭৫-৯০% তামা এবং ১০-২৫% টিন-এর সমন্বয়ে এই সংকর ধাতুটি তৈরি করা হয়।
• উল্লেখ্য, তামা ও দস্তা (Zinc)-এর সমন্বয়ে তৈরি হয় সংকর ধাতু পিতল বা ব্রাস (Brass)।

কার্বন-ডাই-অক্সাইড কোন তাপমাত্রায় ড্রাই আইসে পরিণত হয়?

ক) 0°C খ) 100°C গ) -100℃ ঘ) -78.4°C

ব্যাখ্যা (Explanation)

• কার্বন ডাই-অক্সাইড (CO₂) গ্যাসকে -78.4°C (বা -78.5°C) তাপমাত্রায় শীতল করলে এটি তরল না হয়ে সরাসরি কঠিন অবস্থায় রূপান্তরিত হয়।
• কঠিন অবস্থার এই কার্বন ডাই-অক্সাইডকেই শুষ্ক বরফ বা ড্রাই আইস (Dry Ice) বলা হয়।
• এটি দেখতে সাধারণ বরফের মতো হলেও এটি আসলে বরফ নয়।
• সাধারণত হিমায়ক হিসেবে এবং নাট্যমঞ্চে কৃত্রিম ধোঁয়া তৈরি করতে ড্রাই আইস ব্যবহৃত হয়।

ছিদ্রযুক্ত দেশ কোনটি-

ক) ইতালি খ) গ্রীস গ) ইথিওপিয়া ঘ) কানাডা

ব্যাখ্যা (Explanation)

যে দেশের সীমানার অভ্যন্তরে এক বা একাধিক স্বাধীন রাষ্ট্র অবস্থিত, তাকে ছিদ্রায়িত রাষ্ট্র (Perforated State) বলে।
- পৃথিবীতে ছিদ্রায়িত রাষ্ট্র মূলত ২টি: ইতালি ও দক্ষিণ আফ্রিকা।
- ভ্যাটিকান সিটি এবং স্যান ম্যারিনো স্বাধীন দেশ হলেও এগুলো ইতালির অভ্যন্তরে অবস্থিত। তাই ইতালি একটি ছিদ্রায়িত রাষ্ট্র।
- অপরদিকে, দক্ষিণ আফ্রিকার অভ্যন্তরে 'লেসোথো' নামক রাষ্ট্রটি অবস্থিত।

"চটকা” কোন অঞ্চলের লোক সংগীত?

ক) রংপুর খ) চট্টগ্রাম গ) বরিশাল ঘ) সিলেট

ব্যাখ্যা (Explanation)

বাংলাদেশের বিভিন্ন অঞ্চলের বিখ্যাত লোকজ গানগুলো হলো:
• চটকা: রংপুর অঞ্চলের গান।
• গম্ভীরা: চাঁপাইনবাবগঞ্জ অঞ্চলের গান।
• ভাটিয়ালি: ময়মনসিংহ অঞ্চলের গান।

সিপাহী বিদ্রোহের পর কোন সম্রাট ক্ষমতাচ্যুত হন?

ক) সম্রাট বাবর খ) সম্রাট দ্বিতীয় বাহাদুর শাহ গ) সম্রাট হুমায়ুন ঘ) সম্রাট আওরঙ্গজেব

ব্যাখ্যা (Explanation)

• মুঘল সাম্রাজ্যের সর্বশেষ সম্রাট ছিলেন দ্বিতীয় বাহাদুর শাহ, যিনি 'বাহাদুর শাহ জাফর' নামেও পরিচিত ছিলেন।
• ১৮৫৭ সালের সিপাহী বিদ্রোহের সময় তিনি বিদ্রোহীদের নেতৃত্ব দেন।
• বিদ্রোহ দমনের পর ব্রিটিশ সরকার তাঁকে ক্ষমতাচ্যুত করে মিয়ানমারের রেঙ্গুনে (বর্তমান ইয়াঙ্গুন) নির্বাসনে পাঠায়, যার ফলে মুঘল সাম্রাজ্যের চূড়ান্ত পতন ঘটে।

কোন বন্দরটি ভূমধ্যসাগরের তীরবর্তী নয়?

ক) বেনগাজী খ) হাইফা গ) পোর্ট সৈয়দ ঘ) লাটাকিয়া

ব্যাখ্যা (Explanation)

• অনেক সময় বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় এমন কিছু প্রশ্ন আসে যেখানে অপশনগুলোতে ভুল থাকে। এই প্রশ্নটি ঠিক সেরকমই একটি প্রশ্ন। এখানে দেওয়া প্রতিটি বন্দরই প্রকৃতপক্ষে ভূমধ্যসাগরের (Mediterranean Sea) তীরে অবস্থিত। বিষয়টি ভালোভাবে বোঝার জন্য প্রতিটি অপশনের ভৌগোলিক অবস্থান একটু বিস্তারিতভাবে জেনে নিই:

• বেনগাজী (Benghazi): এটি উত্তর আফ্রিকার দেশ লিবিয়ার দ্বিতীয় বৃহত্তম শহর এবং একটি অন্যতম প্রধান সমুদ্রবন্দর। ভৌগোলিকভাবে এটি সরাসরি ভূমধ্যসাগরের তীরেই অবস্থিত।

• হাইফা (Haifa): এটি মধ্যপ্রাচ্যের দেশ ইসরায়েলের উত্তরাঞ্চলে অবস্থিত একটি অত্যন্ত ব্যস্ত এবং বৃহৎ সমুদ্রবন্দর। মানচিত্র খেয়াল করলে দেখবে, এটিও সম্পূর্ণভাবে ভূমধ্যসাগরের উপকূলবর্তী।

• পোর্ট সৈয়দ (Port Said): এটি মিসরের (Egypt) একটি বিখ্যাত বন্দর। সুয়েজ খালের ঠিক উত্তর প্রান্তে এবং ভূমধ্যসাগরের একদম তীর ঘেঁষে এর অবস্থান।
→ (শিক্ষার্থীদের যে জায়গায় সবচেয়ে বেশি ভুল হয়: অনেকেই এই বন্দরটিকে 'পোর্ট সুয়েজ'-এর সাথে গুলিয়ে ফেলেন। মনে রাখবে, 'পোর্ট সুয়েজ' হলো সুয়েজ খালের দক্ষিণ প্রান্তে লোহিত সাগরের (Red Sea) তীরে অবস্থিত, আর 'পোর্ট সৈয়দ' ভূমধ্যসাগরের তীরে)।

• লাটাকিয়া (Latakia): এটি হলো মধ্যপ্রাচ্যের দেশ সিরিয়ার প্রধান সমুদ্রবন্দর। সিরিয়ার এই বন্দরটিও সরাসরি ভূমধ্যসাগরের সীমানায় বা উপকূলেই অবস্থিত।

• যেহেতু প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে "কোনটি ভূমধ্যসাগরের তীরবর্তী নয়" এবং আমাদের দেওয়া চারটি অপশনই (বেনগাজী, হাইফা, পোর্ট সৈয়দ, লাটাকিয়া) ভূমধ্যসাগরের তীরবর্তী, তাই এখানে আলাদা করে সঠিক উত্তর বেছে নেওয়ার কোনো সুযোগ নেই।

বাংলাদেশের পণ্য আমদানিতে শীর্ষ দেশ কোনটি?

ক) ভারত খ) চীন গ) যুক্তরাষ্ট্র ঘ) জার্মানি

ব্যাখ্যা (Explanation)

বাংলাদেশ থেকে পণ্য আমদানিতে (অর্থাৎ বাংলাদেশের জন্য রপ্তানি গন্তব্য হিসেবে) শীর্ষ দেশ হলো যুক্তরাষ্ট্র।
• অর্থনৈতিক সমীক্ষা ২০১৮ অনুসারে, যুক্তরাষ্ট্র ২০১৬-১৭ অর্থবছরে বাংলাদেশ থেকে ৫৮৪৬.৬৪ মিলিয়ন মার্কিন ডলারের পণ্য আমদানি করে।
• তৈরি পোশাক রপ্তানির ক্ষেত্রেও একক দেশ হিসেবে যুক্তরাষ্ট্র বাংলাদেশের সবচেয়ে বড় বাজার।

ময়নামতির পূর্বনাম কী?

ক) লালমাই খ) রোহিতগিরি গ) বড় কামতা ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা (Explanation)

ময়নামতির পূর্বনাম হলো রোহিতগিরি।
বাংলাদেশের কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ স্থানের বর্তমান ও পূর্বনাম:
• ময়নামতি - রোহিতগিরি
• নোয়াখালী - সুধারাম
• কুমিল্লা - ত্রিপুরা
• জামালপুর - সিংহজানী

বাংলাদেশের সংবিধানের ব্যাখ্যাকারক কে?

ক) মহামান্য রাষ্ট্রপতি খ) জাতীয় সংসদ গ) সুপ্রিম কোর্ট ঘ) হাইকোর্ট

ব্যাখ্যা (Explanation)

বাংলাদেশের সংবিধানের চূড়ান্ত রক্ষক হলো সুপ্রিম কোর্ট।
• সংবিধানের ৯৪(১) অনুচ্ছেদ অনুযায়ী, আপিল বিভাগ ও হাইকোর্ট বিভাগ নিয়ে বাংলাদেশের সর্বোচ্চ আদালত 'বাংলাদেশ সুপ্রিম কোর্ট' গঠিত।
• জাতীয় সংসদ প্রণীত আইনের সঠিক বিশ্লেষণ ও অর্থ নিরূপণ, আইন ও শাসন বিভাগের উপর নজরদারি এবং সংবিধানের পবিত্রতা রক্ষার মাধ্যমে সুপ্রিম কোর্ট সংবিধানের অভিভাবক হিসেবে দায়িত্ব পালন করে।

'পদ্মা ব্যারেজ' পদ্মা নদীর কোন অংশে নির্মাণের পরিকল্পনা রয়েছে?

ক) গোদাগাড়ী, রাজশাহী খ) চারঘাট, রাজশাহী গ) পাংশা, রাজবাড়ী ঘ) ঈশ্বরদী, পাবনা

ব্যাখ্যা (Explanation)

পদ্মা নদীর পানি ধরে রাখতে এবং শুষ্ক মৌসুমে সেচ কাজে ব্যবহারের জন্য রাজবাড়ী জেলার পাংশা উপজেলায় 'পদ্মা ব্যারেজ' বা পদ্মা ব্যারাজ নির্মাণের পরিকল্পনা করা হয়েছিল।
• এটি দক্ষিণ-পশ্চিমাঞ্চলের কৃষিকাজ ও পরিবেশ রক্ষায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখার উদ্দেশ্যে পরিকল্পিত হয়।

"Ground Zero" কোথায় অবস্থিত?

ক) নিউইয়র্ক খ) রোম গ) ভ্যাটিকান ঘ) ঢাকা

ব্যাখ্যা (Explanation)

Ground Zero যুক্তরাষ্ট্রের নিউইয়র্ক শহরে অবস্থিত।
- ১১ সেপ্টেম্বর, ২০০১ সালে সন্ত্রাসী হামলায় নিউইয়র্কের 'ওয়ার্ল্ড ট্রেড সেন্টার' বা টুইন টাওয়ার যেখানে ভেঙে পড়ে, সেই স্থানটিই 'Ground Zero' নামে পরিচিত।
- এই ট্রাজেডিতে নিহতদের স্মৃতি সংরক্ষণে এখানে একটি স্মৃতিস্তম্ভ ও জাদুঘর তৈরি করা হয়েছে।

কোনটি স্ক্যান্ডিনেভিয়ান দেশ নয়?

ক) ফিনল্যান্ড খ) আয়ারল্যান্ড গ) আইসল্যান্ড ঘ) সুইডেন

ব্যাখ্যা (Explanation)

স্ক্যান্ডিনেভিয়ান দেশ বলতে উত্তর ইউরোপের কয়েকটি দেশকে বোঝায়।
- স্ক্যান্ডিনেভিয়ান (বা নর্ডিক) দেশ মূলত ৫টি: নরওয়ে, সুইডেন, ডেনমার্ক, ফিনল্যান্ড এবং আইসল্যান্ড।
- আয়ারল্যান্ড উত্তর-পশ্চিম ইউরোপের একটি দেশ, এটি স্ক্যান্ডিনেভিয়ান অঞ্চলের অংশ নয়।

জাতিসংঘ দিবস কোনটি?

ক) ২৪ মে খ) ২২ মে গ) ২২ অক্টোবর ঘ) ২৪ অক্টোবর

ব্যাখ্যা (Explanation)

জাতিসংঘ:
- ১৯৪৫ সালের ২৪ অক্টোবর জাতিসংঘ সনদ কার্যকরের মাধ্যমে আনুষ্ঠানিকভাবে জাতিসংঘ গঠিত হয়।
- তাই প্রতি বছর ২৪ অক্টোবর জাতিসংঘ দিবস পালিত হয়।
- এর আগে ১৯৪৫ সালের ২৬ জুন যুক্তরাষ্ট্রের সানফ্রান্সিসকো শহরে জাতিসংঘ সনদ স্বাক্ষরিত হয়।
- এর সদর দপ্তর যুক্তরাষ্ট্রের নিউইয়র্কে অবস্থিত।
- জাতিসংঘের প্রতিষ্ঠাকালীন সদস্য ৫১টি এবং বর্তমান সদস্য ১৯৩টি (সর্বশেষ দক্ষিণ সুদান)।

"স্ট্যাচু অব পিস" কোথায় অবস্থিত?

ক) নাগাসাকি খ) নিউইয়র্ক গ) হো চি মিন সিটি ঘ) সিউল

ব্যাখ্যা (Explanation)

স্ট্যাচু অব পিস (Statue of Peace) দক্ষিণ কোরিয়ার রাজধানী সিউলে অবস্থিত।
- এটি দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের সময় জাপানি সামরিক বাহিনীর যৌন দাসী বা 'কমফোর্ট উইমেন'দের স্মরণে নির্মিত একটি ব্রোঞ্জ ভাস্কর্য।
- ২০১১ সালের ১৪ ডিসেম্বর সিউলে জাপানি দূতাবাসের সামনে এটি প্রথম স্থাপন করা হয়।

ইন্টারনেট ব্যবহারের ফলে কুকিজ ও টেম্পোরারি ফাইল কোথায় জমা হয়?

ক) Hard Disk খ) Cache Memory গ) ROM ঘ) SSD

ব্যাখ্যা (Explanation)

• কাজের গতি বৃদ্ধির জন্য প্রসেসর এবং প্রধান মেমরির মধ্যবর্তী স্থানে স্থাপিত বিশেষ ধরনের মেমোরি হলো ক্যাশ মেমোরি (Cache Memory)।
• ইন্টারনেট ব্যবহারের ফলে ব্রাউজারের কুকিজ ও টেম্পোরারি ফাইল এই ক্যাশ মেমোরিতে জমা হয়।
• কম্পিউটারে পাঠানো কমান্ড এবং ছোটখাটো তথ্য সংরক্ষণে এই মেমোরি ব্যবহৃত হয়।
• প্রসেসরে ক্যাশ মেমোরি যত বেশি হবে, কম্পিউটার তত বেশি গতিময় হবে।

২৮ সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

ক) ১২২৩ খ) ১২৩২ গ) ২৪৬৪ ঘ) ২৪৪৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

১. সূত্র: আমরা জানি, একটি পূর্ণ বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো πr²। যেহেতু এটি একটি অর্ধবৃত্ত, তাই এর ক্ষেত্রফল হবে পূর্ণ বৃত্তের অর্ধেক।
অর্থাৎ, অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = ১/২ × π × r² (যেখানে r হলো ব্যাসার্ধ)
২. মান বসানো:
এখানে, ব্যাসার্ধ (r) = ২৮ সে.মি.
এবং π (পাই) এর মান = ২২/৭
৩. হিসাব:
ক্ষেত্রফল = ১/২ × (২২/৭) × (২৮)²
= ১/২ × (২২/৭) × ২৮ × ২৮
প্রথমে ৭ দিয়ে ২৮ কে ভাগ করলে পাই ৪।
তাহলে থাকে = ১/২ × ২২ × ৪ × ২৮
এরপর ২ দিয়ে ২২ কে ভাগ করলে পাই ১১।
তাহলে থাকে = ১১ × ৪ × ২৮
= ৪৪ × ২৮
= ১২৩২
সুতরাং, অর্ধবৃত্তটির ক্ষেত্রফল ১২৩২ বর্গ সে.মি.।

x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) xz > yz খ) $\frac{2}{x}\frac{2}{y}$ গ) $\frac{x}{2}\frac{y}{2}$ ঘ) xz < yz

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, x > y এবং z < 0।
এখানে z < 0 অর্থাৎ, z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
অসমতার গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, কোনো অসমতাকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার দিক বা চিহ্নটি উল্টে যায় (অর্থাৎ, > থাকলে < হয়)।
সুতরাং, x > y অসমতাটির উভয় পক্ষকে ঋণাত্মক সংখ্যা z দ্বারা গুণ করলে চিহ্নটি পরিবর্তন হয়ে যাবে।
∴ xz < yz
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো xz < yz।

যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩১১ এবং ৪১৯ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ২৩ অবশিষ্ট থাকে তাদের সেট কোনটি?

ক) {৪৮} খ) {৩৬} গ) {১৪৪} ঘ) {৯৬}

ব্যাখ্যা (Explanation)

যেহেতু নির্ণেয় স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩১১ এবং ৪১৯ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ২৩ অবশিষ্ট থাকে, তাই নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (৩১১ - ২৩) এবং (৪১৯ - ২৩) এর সাধারণ গুণনীয়ক, যা অবশ্যই ২৩ এর চেয়ে বড় হবে।
এখানে,
৩১১ - ২৩ = ২৮৮
৪১৯ - ২৩ = ৩৯৬
এখন আমাদের ২৮৮ এবং ৩৯৬ এর গসাগু বা বৃহত্তম সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করতে হবে।
২৮৮ এবং ৩৯৬ এর গসাগু হলো ৩৬।
যেহেতু গসাগু ৩৬, তাই ২৮৮ ও ৩৯৬ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলো হবে ৩৬ এর গুণনীয়কসমূহ (যেমন: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬)।
কিন্তু শর্ত অনুযায়ী সংখ্যাটি অবশিষ্ট ২৩ এর চেয়ে বড় হতে হবে। ৩৬ এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে ২৩ এর চেয়ে বড় একমাত্র সংখ্যাটি হলো ৩৬।
সুতরাং, নির্ণেয় সেটটি হবে {৩৬}।

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক) ১০ খ) ১২ গ) ১৪ ঘ) ৭

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
এখানে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ৮৪ বর্গগজ এবং উচ্চতা (লম্বের দৈর্ঘ্য) = ১২ গজ।
মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই,
৮৪ = (১/২) × ভূমি × ১২
বা, ৮৪ = ভূমি × ৬
বা, ভূমি = ৮৪ ÷ ৬
∴ ভূমি = ১৪
সুতরাং, ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৪ গজ।

$(3a+1)^{3}-(2a-3)^{3}$ এর উৎপাদক কোনটি?

ক) $(a+4) (19a^{2}+13a+7)$ খ) $(a-4) (19a^{2}-13a+7)$ গ) $(a+4) (19a^{2}+13a-7)$ ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা (Explanation)

প্রদত্ত রাশি: (3a + 1)³ - (2a - 3)³

আমরা জানি, a³ - b³ এর উৎপাদকের সূত্র:
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

ধরি, x = (3a + 1) এবং y = (2a - 3)
তাহলে প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ায়, x³ - y³

সূত্র অনুযায়ী মান বসিয়ে পাই,
= (x - y)(x² + xy + y²)

এখন, x এবং y এর মান বসিয়ে,
= {(3a + 1) - (2a - 3)} {(3a + 1)² + (3a + 1)(2a - 3) + (2a - 3)²}
= (3a + 1 - 2a + 3) { (9a² + 6a + 1) + (6a² - 9a + 2a - 3) + (4a² - 12a + 9) }

এখন দ্বিতীয় অংশটি সরল করে পাই,
= (a + 4) { (9a² + 6a² + 4a²) + (6a - 7a - 12a) + (1 - 3 + 9) }
= (a + 4) (19a² - 13a + 7)

যেহেতু সঠিক উৎপাদকটি প্রদত্ত অপশনগুলোর কোনোটির সাথেই সম্পূর্ণ মিলে না (প্রথম অপশনে +13a আছে, দ্বিতীয়টিতে a-4 আছে), তাই সঠিক উত্তর হবে কোনোটিই নয়।

যদি A + B + C = 0 হয়, তবে $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ এর মান কত?

ক) abc খ) 2abc গ) 3abc ঘ) 6abc

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
বা, a + b = -c

উভয়পক্ষকে ঘন (cube) করে পাই,
(a + b)³ = (-c)³
বা, a³ + b³ + 3ab(a + b) = -c³ [সূত্র: (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)]

এখন, সমীকরণে (a + b) এর মান -c বসিয়ে পাই,
বা, a³ + b³ + 3ab(-c) = -c³
বা, a³ + b³ - 3abc = -c³

-c³ এবং -3abc এর স্থান পরিবর্তন করে পাই,
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc

ABC সমকোণী ত্রিভুজের $∠$ B কোণটি সমকোণ। tan A = 1 হলে, 2sinA.cosA এর মান কত?

ক) 2 খ) 1 গ) 3 ঘ) 4

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজে tan A = 1

পদ্ধতি ১ (কোণের মান নির্ণয় করে):
tan A = 1
বা, tan A = tan 45° [যেহেতু tan 45° = 1]
∴ A = 45°

এখন, প্রদত্ত রাশি = 2 sin A . cos A
= 2 sin 45° . cos 45°
= 2 × (1 / √2) × (1 / √2)
= 2 × (1 / 2)
= 1

পদ্ধতি ২ (সূত্রের সাহায্যে):
প্রদত্ত রাশি = 2 sin A . cos A
আমরা জানি ত্রিকোণমিতিক সূত্র, 2 sin A . cos A = sin 2A
যেহেতু tan A = 1 বা A = 45°,
সুতরাং, sin 2A = sin (2 × 45°) = sin 90° = 1

$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$ এবং $\frac{4}{x}- \frac{9}{y}= 1$ হলে, x ও y এর মান কত?

ক) $\frac{11}{3},\frac{11}{4}$ খ) $\frac{12}{3},\frac{12}{4}$ গ) $\frac{11}{4},\frac{11}{3}$ ঘ) $\frac{13}{4},\frac{13}{5}$

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
2/x + 1/y = 1 ........... (i)
4/x - 9/y = -1 .......... (ii)

(i) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
4/x + 2/y = 2 ........... (iii)

এখন, (iii) নং সমীকরণ হতে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(4/x + 2/y) - (4/x - 9/y) = 2 - (-1)
বা, 4/x + 2/y - 4/x + 9/y = 2 + 1
বা, 11/y = 3
বা, 3y = 11 [আড়গুণন করে]
সুতরাং, y = 11/3

এখন, y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2/x + 1 / (11/3) = 1
বা, 2/x + 3/11 = 1
বা, 2/x = 1 - 3/11
বা, 2/x = (11 - 3) / 11
বা, 2/x = 8/11
বা, 8x = 22 [আড়গুণন করে]
বা, x = 22/8
সুতরাং, x = 11/4

নির্ণেয় মান, (x, y) = (11/4, 11/3)

একটি মোবাইল ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। মোবাইলটি আরও ৮০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। মোবাইলটির ক্রয়মূল্য কত?

ক) ৪০০০ টাকা খ) ৩০০০ টাকা গ) ২০০০ টাকা ঘ) ৫০০০ টাকা

ব্যাখ্যা (Explanation)

ধরি, মোবাইলটির ক্রয়মূল্য = x টাকা।

৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্যের (১০০ - ৮)% = ৯২%
৮% লাভে বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্যের (১০০ + ৮)% = ১০৮%

উভয় বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১০৮% - ৯২%) = ১৬%
প্রশ্নমতে, এই ১৬% পার্থক্য হলো ৮০০ টাকার সমান।

সুতরাং,
x এর ১৬% = ৮০০
বা, x × (১৬ / ১০০) = ৮০০
বা, x = ৮০০ × (১০০ / ১৬)
বা, x = ৫০ × ১০০
∴ x = ৫০০০

শর্টকাট টেকনিক:
ক্রয়মূল্য = (মোট টাকার পরিমাণ / শতকরা লাভ ও ক্ষতির যোগফল) × ১০০
= [৮০০ / (৮ + ৮)] × ১০০
= (৮০০ / ১৬) × ১০০
= ৫০০০ টাকা।

$a^{4}+ a^{2}b^{2} + b^{2}= 8$ এবং $a^{2}+ab+b^{2}= 4$ হলে, $a^{2}+b^{2}$ এর মান কত?

ক) 2 খ) 3 গ) 4 ঘ) 1

ব্যাখ্যা (Explanation)

দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 ...... (i)
a² + ab + b² = 4 ...... (ii)

আমরা জানি,
a⁴ + a²b² + b⁴ = (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + b² + ab)(a² + b² - ab)
= (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)

এখন (i) নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,
(a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 8
বা, 4 × (a² - ab + b²) = 8 [(ii) নং হতে মান বসিয়ে]
বা, a² - ab + b² = 8 / 4
∴ a² - ab + b² = 2 ...... (iii)

এখন, (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(a² + ab + b²) + (a² - ab + b²) = 4 + 2
বা, 2(a² + b²) = 6
বা, a² + b² = 6 / 2
∴ a² + b² = 3

একটি ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে উহার তলগুলোর ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিটার?

ক) 16 খ) 64 গ) 72 ঘ) 96

ব্যাখ্যা (Explanation)

আমরা জানি, একটি ঘনকের ৬টি সমান বর্গাকার তল থাকে।
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য বা বাহু a হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের (সবগুলো তলের) ক্ষেত্রফল হবে ৬a²।

এখানে দেওয়া আছে,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য, a = ৪ মিটার

∴ ঘনকের তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল
= ৬ × a²
= ৬ × (৪)²
= ৬ × ১৬
= ৯৬ বর্গ মিটার।

$\frac{0.5\times 10^{p}}{0.3\times 10^{q}}=5\times 10^{7}$ হলে, p - q = কত?

ক) 7 খ) 8 গ) 9 ঘ) 10

ব্যাখ্যা (Explanation)

সঠিক উত্তরটি পাওয়ার জন্য প্রশ্নে প্রদত্ত সমীকরণটির লব ০.৫ এর স্থলে ০.১৫ হবে।

প্রদত্ত সমীকরণ:
(০.১৫ × ১০^p) / (০.৩ × ১০^q) = ৫ × ১০^৭
⇒ (০.১৫ / ০.৩) × (১০^p / ১০^q) = ৫ × ১০^৭
⇒ ০.৫ × ১০^p-q = ৫ × ১০^৭
⇒ ৫ × ১০^-১ × ১০^p-q = ৫ × ১০^৭
⇒ ৫ × ১০^p-q-১ = ৫ × ১০^৭
উভয় পাশ থেকে ৫ বাদ দিলে পাই,
⇒ ১০^p-q-১ = ১০^৭
উভয় পাশের ভিত্তি (১০) সমান হওয়ায় ঘাতগুলোও সমান হবে (সূচকের নিয়ম অনুযায়ী),
⇒ p - q - ১ = ৭
⇒ p - q = ৭ + ১ = ৮

ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো, গাছের গোড়া থেকে ৯ মিটার উচ্চতায় একটি খুঁটি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ ৩০° হলে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক) ১০ খ) ১২ গ) ১৪ ঘ) ১৮

ব্যাখ্যা (Explanation)

মনে করি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।
গাছের গোড়া থেকে ৯ মিটার উচ্চতায় খুঁটিটি ঠেস দেওয়া হয়েছে, অর্থাৎ লম্ব (উচ্চতা) = ৯ মিটার।
খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ ৩০°। একান্তর কোণ হিসেবে খুঁটিটি মাটির সাথে ৩০° কোণ (উন্নতি কোণ) উৎপন্ন করে।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে আমরা জানি,
sin θ = লম্ব / অতিভুজ
⇒ sin ৩০° = ৯ / খুঁটিটির দৈর্ঘ্য
⇒ ১/২ = ৯ / খুঁটিটির দৈর্ঘ্য [ ∵ sin ৩০° = ১/২ ]
⇒ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ৯ × ২ = ১৮

শর্টকাট টেকনিক:
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ ৩০° হলে, অতিভুজ সবসময় লম্বের দ্বিগুণ হয়।
এখানে লম্ব = ৯ মিটার, তাই অতিভুজ (খুঁটিটির দৈর্ঘ্য) = ২ × ৯ = ১৮ মিটার।

পর পর ১০ টি সংখ্যার প্রথম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে, শেষ ৫টির যোগফল কত?

ক) ৫৮৫ খ) ৫৬০ গ) ৫৭৫ ঘ) ৫৭০

ব্যাখ্যা (Explanation)

মনে করি, পরপর ১০টি সংখ্যার প্রথম সংখ্যাটি x।
তাহলে প্রথম ৫টি সংখ্যা হলো: x, (x + ১), (x + ২), (x + ৩) এবং (x + ৪)।

শর্তমতে, প্রথম ৫টির যোগফল = ৫৬০
⇒ x + (x + ১) + (x + ২) + (x + ৩) + (x + ৪) = ৫৬০
⇒ ৫x + ১০ = ৫৬০
⇒ ৫x = ৫৬০ - ১০ = ৫৫০
⇒ x = ৫৫০ / ৫ = ১১০

এখন, শেষ ৫টি সংখ্যা হলো: (x + ৫), (x + ৬), (x + ৭), (x + ৮) এবং (x + ৯)।
এদের যোগফল
= (x + ৫) + (x + ৬) + (x + ৭) + (x + ৮) + (x + ৯)
= ৫x + ৩৫

x-এর মান বসিয়ে পাই,
= (৫ × ১১০) + ৩৫
= ৫৫০ + ৩৫
= ৫৮৫

শর্টকাট টেকনিক:
যেহেতু পরপর ১০টি সংখ্যার কথা বলা হয়েছে, তাই শেষ ৫টি সংখ্যার প্রতিটি সংখ্যা প্রথম ৫টি সংখ্যার অনুরূপ সংখ্যার চেয়ে ঠিক ৫ করে বড়।
সুতরাং, শেষ ৫টি সংখ্যার মোট বৃদ্ধি = ৫ × ৫ = ২৫
অতএব, শেষ ৫টির যোগফল = প্রথম ৫টির যোগফল + ২৫ = ৫৬০ + ২৫ = ৫৮৫।

কোনো শহরের বর্তমান জনসংখ্যা ৮০ লক্ষ। ঐ শহরের জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ৩০ হলে, ৩ বছর পর ঐ শহরের জনসংখ্যা কত হবে?

ক) ৮৭০০৮১৬ খ) ৮৭৪১৮১৬ গ) ৮৬০০৮১৬ ঘ) ৮৭৫১৭১৬

ব্যাখ্যা (Explanation)

এখানে,
শহরটির বর্তমান জনসংখ্যা, P = ৮০,০০,০০০
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার, r = প্রতি হাজারে ৩০ = ৩০/১০০০ = ৩/১০০
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধি হারের সূত্র অনুযায়ী n বছর পর জনসংখ্যা,
C = P(১ + r)ⁿ

মান বসিয়ে পাই,
C = ৮০,০০,০০০ × (১ + ৩/১০০)^৩
= ৮০,০০,০০০ × (১০৩/১০০)^৩
= ৮০,০০,০০০ × (১০৩/১০০) × (১০৩/১০০) × (১০৩/১০০)
= ৮ × ১০৩ × ১০৩ × ১০৩
= ৮৭,৪১,৮১৬ জন

সুতরাং, ৩ বছর পর ঐ শহরের জনসংখ্যা হবে ৮৭,৪১,৮১৬ জন।

বাংলাদেশ রেলওয়ে (সহকারী স্টেশন মাস্টার) - ১৬.০৫.২০২৬

প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা ওয়েবসাইটে; সবগুলোর সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে অ্যাপ ইন্সটল করুন।

নিজের প্রস্তুতি যাচাই করুন — অ্যাপে লাইভ পরীক্ষা দিয়ে মেরিট লিস্টে নিজের অবস্থান দেখুন।

এই টপিকের সব প্রশ্ন ব্যাখ্যাসহ, ভুল-সঠিক-বুকমার্ক আলাদা করে রিভিশন — অ্যাপে।