Areas & Volumes (296 টি প্রশ্ন )
 Back to Subject Page   All Topics
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ হল P মিটার।
প্রশ্ন অনুযায়ী, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের তিনগুণ।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য হবে 3P মিটার।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র হল 2×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)।
প্রশ্নমতে, পরিসীমা হল 104 মিটার।
তাহলে,
2×(3P+P)=104
বা, 2×(4P)=104
বা, 8P=104
বা, P=13 মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ হল 13 মিটার।
এবং দৈর্ঘ্য হল 3×13=39 মিটার।
ক্ষেত্রফল = 39×13 বর্গমিটার = 507 বর্গমিটার

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হল 507 বর্গমিটার।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
1 গজ = 3 ফুট
সুতরাং, 1 বর্গ গজ = 1 গজ × 1 গজ = 3 ফুট × 3 ফুট = 9 বর্গফুট

এখন, বর্গাকার স্থানটির ক্ষেত্রফল হল 4 বর্গ গজ।
4 বর্গ গজ = 4 × 9 বর্গফুট = 36 বর্গফুট

প্রতিটি পাথরের ক্ষেত্রফল হল 4 বর্গফুট।

প্রয়োজনীয় পাথরের সংখ্যা = (মোট ক্ষেত্রফল) / (প্রতিটি পাথরের ক্ষেত্রফল)
প্রয়োজনীয় পাথরের সংখ্যা = 36 বর্গফুট/4 বর্গফুট = 9

সুতরাং, 4 বর্গ গজ বর্গাকার স্থানকে আচ্ছাদন করতে 9টি 4 বর্গফুট আয়তনের পাথরের প্রয়োজন হবে।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য = L
প্রাথমিক প্রস্থ = W
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = L × W

পরিবর্তনের পর,
নতুন দৈর্ঘ্য = L + 20% of L = L + 0.2L = 1.2L
নতুন প্রস্থ = W - 20% of W = W - 0.2W = 0.8W

নতুন ক্ষেত্রফল = 1.2L × 0.8W = 0.96LW

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = LW = 1.00LW
নতুন ক্ষেত্রফল = 0.96LW

পরিবর্তন = 0.96LW - 1.00LW = -0.04LW
শতকরা পরিবর্তন = (-0.04LW/LW) × 100% = -4%
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ০.১ মিটার
প্রস্থ = ০.১ মিটার
উচ্চতা = ০.১ মিটার

∴ আয়তন = ০.১ × ০.১ × ০.১ = ০.০০১ ঘনমিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
ধরি
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = y মিটার

১ম শর্তমতে
  (x - 5)(y + 3) = xy - 9
⇒ xy - 5y + 3x - 15= xy - 9
⇒ 3x - 5y = 6     ......................(1)

২য় শর্তমতে
(x + 3)(y + 2) = xy + 67
⇒ xy + 3y + 2x + 6 = xy + 67
⇒ 2x + 3y = 61 ........................(2)

(1) × 2 -  (2) × 3 
  6x - 10y - 6x - 9y = 12 - 183
⇒ -19y = - 171 
⇒ y = 171/19
⇒ y = 9

অতএব
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 9 মিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
মনেকরি,
      আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x
এবং আয়তক্ষেত্রটির  প্রস্থ = y

প্রশ্নমতে, 2(x+y) = 104

⇒ x+y = 52 ............ (i)

আবার, x = 2y + 10 ............. (ii)

∴ (i) ⇒ 
2y + 10 + y = 52
⇒ 3y = 42
⇒ y = 14
 
∴ (ii) ⇒
x = 2 × 14 + 10
   = 28 + 10
   = 38

∴ ক্ষেত্রফল = 38 × 14 = 532
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
দেওয়া আছে,
ঘরের দৈর্ঘ্য = 8 মিটার
ঘরের প্রস্থ = 5 মিটার
ঘরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 8 × 5 = 40 বর্গমিটার

কার্পেটের দাম = 12.50 টাকা প্রতি বর্গমিটার
মোট খরচ = ক্ষেত্রফল × প্রতি বর্গমিটারের দাম = 40 × 12.50 = 500 টাকা

সুতরাং, কার্পেটের মোট খরচ হবে 500 টাকা।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
বর্গাকার বাগানের একবাহু,
= √২০২৫
= ৪৫ মিটার 

বাগানটির পরিসীমা,
= ৪ x ৪৫
= ১৮০ মিটার 

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
We know, the surface area of a solid
         = 2(ab+bc+ca)
         = 2(22 x 12 + 12 x 7.5 + 7.5 x 22) 
         = 2 x 519
         = 1038cm
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
গড় পরিবর্তন = A + B + (A x B)÷100
                 = 20 + (-20) + (20 x (-20))÷100
                 = -4% 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
• বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৪ মিটার 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (১৪)২ = (২২÷৭) x ১৪ x ১৪ = ৬১৬ বর্গ মিটার 
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) x (ভুমি x উচ্চতা) 
                ⇒ 24 = (1/2) x 6 x উচ্চতা
            ∴ উচ্চতা = 24/3 = 8
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন- ১০ সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তনের সংখ্যামান এর কত শতাংশ তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সংখ্যামান?)
 
গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তনের অনুপাত
=4πr2 ÷ (4πr3/3)
=3/r=3/10 [দেওয়া আছে ]
=30%
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
( প্রশ্ন-  V আয়তনের একটি লম্বআকৃতির শঙ্কুর শীর্ষবিন্দু নীচে অবস্থিত।এটিতে জলদ্বারা পূর্ণ করা হচ্ছে,যদি জলের উচ্চতা তার উচ্চতার অর্ধেক হয়,তবে জলের আয়তন কত?)

ΔACE ও  ΔBDC সদৃশকোণী ত্রিভুজে AC/BC =AE/BD
AE=r,BD=r1
AC=h, BC=h/2 =h1
এখন,
h/(h/2) =r/r1
অতএব r/r1=2
 বা, r1=(r/2)

সম্পূর্ণ কোণকের আয়তন V=1/3πr2h ---- (1)
পানিপূর্ণ অংশের আয়তন =1/3 πr12h1=1/3π  ×(r/2)2 × h/2
                =1/3π × r2/4 ×h/2 =1/8 (1/3πr2h) =V/8
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন- একটি শঙ্কুর উচ্চতা ১৫ ও ভূমি ব্যাস ১৬ সেমি।এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?)

দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা h=15 cm
ভূমির ব্যাস =16 cm
অতএব ব্যাসার্ধ=8 cm
হেলানো উচ্চতা ,l = √(h2 + r2) = √{(15)2 + (8)2} = √289 = 17
হেলানো তলের ক্ষেত্রফল =πrl = π × 8 ×17 = 136π
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(30 cm  × 18 cm মাপের দুটি আয়তাকার কাগজের শীটের একটিকে দৈর্ঘ্য বরাবর ও অন্যটিকে প্রস্থ বরাবর মুড়িয়ে দুটি দুটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারে পরিণত করা হলো।সিলিন্ডারদ্বয়ের আয়তনের অনুপাত কত)



দৈর্ঘ্য বরাবর ব্যাসার্ধ r1 হলে 2πr1=30
                    r1=30/2π
অতএব আয়তন V1=πr12h1 =π ×(30/2π)2×18cm2=(152/π )×18 cm2
একইভাবে দ্বিতীয় সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ r2 হলে
 2πr2=18
  r2=9/π
 h2=30 cm

আয়তন=V2=πr22h2 =π × (9/π)2×30 cm2=(92×30)/π

এখন V1/V2={(152 ×18)/π} ÷ {(92×30)/π}
=(15/9)2 × (18/30)
=(5/3)2 ×18/30
=25/9 × 18/30
=5/3
অতএব  5:3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন-একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের উচ্চতা ও বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৪ সেমি ও ৭০৪ সেমি হলে আয়তন কত?

ধরি ব্যাসার্ধ = r
শর্তমতে,2πrh = 704
 2 × 22/7 × r ×14=704
∴  r=8 cm
 আয়তন =πr2h
 =22/7 ×(8)2 ×14 cm3 =2816 cm3
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন- একটি আয়তাকৃতির ঘনবস্তুকে যার আয়তন 250 cm3 কেটে দুইটি একই ঘনকে পরিণত করা হলো।তাহলে ঘনক দুইটির মিলিত ক্ষেত্রফল আয়তকার ঘনবস্তুর চেয়ে তত বেশী হবে?)

যেহেতু আয়তকার বস্তুকে কেটে ঘনকে পরিণত করা হয় তাই ঘনকের ধার a হবে আয়তকার বস্তুর উচ্চতা ,h এর অর্ধেক।
যেহেতু আয়তকার বস্তু কাটার জন্য ঘনক হয় তাই অপর বাহু দুইটি একই হবে এবং তা a।
অতএব আয়তকার ঘনবস্তুর উচ্চতা = h = 2a
অতএব আয়তন =a×a×h
বা, 250=a×a×2a
বা, 250=2a3
 বা, a3=125
  ∴ a=5
অতএব আয়তকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2(a × h + a ×h + a × a)
= 2{a × 2a + a × 2a + a × a}
= 2{2a2 + 2a2 + a2}
= 2 × 5a2 = 10a2 = 10 × (5)2
= 10 × 25 = 250 cm2
একটি ঘনকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =6a2=6×(5)2=6×25=150
অতএব দুইটি ঘনকের পৃষ্ঠের মোট ক্ষেত্রফল =2×150=300 cm2
অতএব ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন= 300 -250 =50 cm2

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন- যদি একটি ঘনকের আয়তন 729 cm3 হয় তবে ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে -)

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে আয়তন a3
প্রশ্নমতে,a3 = 729
 a = 3√729 = 9 cm
অতএব ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল =6a2=6×(9)2=486 cm2
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রশ্ন- যদি একটি ঘনকাকৃতির বস্তুর সংলগ্ন তিনটি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে x, y ও z হত তবে বস্তুটির আয়তন কত হবে?)

ধরি, ঘনকাকৃতির বস্তুর মাত্রাগুলো যথাক্রমে a, b ও  c
অতএব আয়তন  abc = ?
প্রশ্নমতে,ab = x, bc = y, ca = z
সমীকরন ৩টিকে গুণ করলে  ab . bc. ca = xyz
বা,a2b2c2=xyz
বা, (abc)2=xyz
 বা, abc=√(xyz)
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন-কোনো হিমাগারের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ ও উচ্চতা ৩ মিটার।দরজাসহ এর চার দেওয়ালের নোট ক্ষেত্রফল ১০৮ বর্গ মিটার।হিমাগারের আয়তন কত?

ধরি প্রস্থ x;দৈর্ঘ্য=২x
চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল =২ × উচ্চতা×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)
                           = ২×৩×(২x+x)=১৮ x
প্রশ্নমতে,১৮x=১০৮
             ∴  x=৬
অতএব আয়তন =২x ×  x × ৩ =২× ৬× ৬× ৩=২১৬ ঘনমিটার ।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন- ৩০মিটার দীর্ঘ,২০ মিটার চওড়া ও ১২ মিটার গভীর একটি পানির ট্যাংক ৩ মিটার চওড়া লোহার পাত দ্বারা তৈরি। ট্যাংকের উপরিভাগ উন্মুক্ত।প্রতি মিটারে লোহার খরচ ১০ টাকা হলে ট্যাংকটি নির্মাণে লোহার পাতের উপর মোট খরচ কত?)

উপরের অংশ (lb) উন্মুক্ত,তাই ট্যাংকের ক্ষেত্রফল
= lb + 2h (l + b) = [30 × 20 + 2 × 12 × (30 + 20)]m2
= 1800 m2

অতএব ব্যবহ্নত পাতের ক্ষেত্রফল == 1800 m2
ব্যবহ্নত পাতের দৈর্ঘ্য =1800/3 m =600 m
মোট খরচ =দৈর্ঘ্য× একক দৈর্ঘ্যে খরচ
      =600×10 =6000 টাকা
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
( ৪ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গের কর্ণের সমান ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত)

ধরি বর্গের ধার =a
a2=4 m2
 a=2 m
অতএব বর্গের কর্ণ =2√2 m
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r= 2√2 m
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2=π (2√2)2=8 π sq.m
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
প্রশ্ন- এক টাকার একটি কয়েনকে একটি সমতল কাগজের উপর রাখা হলো।এর চারপাশে কতটি অভিন্ন কয়েন রাখা যাবে যেন এরা প্রত্যেকে পাশাপাশি দুটি কয়েন এক কোণে রাখা কয়েনটিকে স্পর্শ করে?


দেখা যাচ্ছে দুটি পাশাপাশি রাখা কয়েন কেন্দ্রীয় কয়েনের সাথে ৬০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে।
যদি  n সংখ্যক কয়েন রাখা হয়,তবে
60n=360
∴ n=360/60 =6
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন- একটি আয়তাকার চত্ত্বরের মাপ ৮০ মিটার × ৫০ মিটার।চত্ত্বরের বাইরে একটি হাঁটাপথ আছে সর্বত্র যার প্রশস্থতা ১ মিটার।তাহলে ঐ পথের ক্ষেত্রফল কত?
 
হাঁটাপথ সহ চত্ত্বরের দৈর্ঘ্য =৮০+(১×২) =৮২ মিটার
    এবং প্রস্থ =৫০+(১×২) =৫২ মিটার
অতএব হাঁটাপথ সহ চত্ত্বরের ক্ষেত্রফল =৮২×৫২=৪২৬৪ বর্গ মিটার
হাঁটাপথ বাদে চত্ত্বরের ক্ষেত্রফল =৮০×৫০ =৪০০০ বর্গ মিটার
অতএব হাটাপথের ক্ষেত্রফল =(৪২৬৪ - ৪০০০)=২৬৪ বর্গ মিটার
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন-পরিষ্কার করার উদ্দেশ্যে যখন একটি তোয়ালেতে ব্লিচিং পাউডার প্রয়োগ করা হলো,তখন দেখা গেল এর দৈর্ঘ্য ২০% হ্রাস পেয়েছে এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস পেয়েছে।তাহলে ক্ষেত্রফল কত শতাংশ হ্রাস পেল?)

 দৈর্ঘ্য aএবং প্রস্থ b হলে ,আদি ক্ষেত্রফল =ab
২০% হ্রাস পাওয়ায় পরিবর্তিত দৈর্ঘ্য = a এর (100 -20)%
                =a এর 80% =80/100a=0.8a

১০% হ্রাস পাওয়ায় পরিবর্তিত প্রস্থ = b এর (100 -10)%
                     =90/100 × b=0.9b

অতএব পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল =0.8a × 0.9b=0.72ab
অতএব ক্ষেত্রফলের শতকরা পরিবর্তন =(0.72ab - ab)/ab ×100
                        =28% (হ্রাস)
অতএব ক্ষেত্রফল 28% হ্রাস পায়।
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন-একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ঃ২। এর পরিসীমা ও ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৫ঃ৯।আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ কত মিটার?)

ধরি,দৈর্ঘ্য 3x এবং প্রস্থ 2x
তাহলে পরিসীমা =2(3x+2x)=2×5x=10x
 এবং ক্ষেত্রফল =  3x×2x=6x2
প্রশ্নমতে, 10x:6x2=5:9
 or,10/6x=5/9
 or,6x×5 =10×9
  x=(10×9)/(6×5) =3

অতএব প্রস্থ =2x=2×3=6 m
i
ব্যাখ্যা (Explanation):
(প্রশ্ন- একটি আয়তাকার মাঠের প্রস্থ এর দৈর্ঘ্যের ৬০%।যদি মাঠের পরিসীমা ৮০০ মিটার হয় তবে ক্ষেত্রফল কত?)

দৈর্ঘ্য x হলে প্রস্থ =x×60%=x×3/5 =3x/5

অতএব পরিসীমা =2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)=800
or,2(x+3x/5)=800
or,(5x+3x)/5 =400
or,8x=400×5
 x=(400×5)/8 =250 m

অতএব ক্ষেত্রফল =x×3x/5 =250×3/5×250 =37500 sq.m

এখানে প্রথম ৩০টি প্রশ্নের ব্যাখ্যা দেখতে পারবেন, বাকি সব প্রশ্নের সম্পূর্ণ ব্যাখ্যা পেতে এখনই অ্যাপ ইন্সটল করুন।

Install App
i
ব্যাখ্যা (Explanation):

Area = \(\frac12\times12\times16\) =96

Sum of Area =\(\frac{96}{1-{\displaystyle\frac14}}\) = 128
সঠিক উত্তর: 0 | ভুল উত্তর: 0