Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, 100 এর সাথে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা যোগ করলে যোগফলকে 10 থেকে 15 এর মধ্যে যে মৌলিক

সংখ্যাগুলি রয়েছে সেগুলি দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় ? 

 10 থেকে 15 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো 11 এবং 13 

 এখানে, 11 এবং 13 ল. সা. গু .= 11 \( \times \) 13 = 143  

 এখানে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি 11 এবং 13 দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা কমপক্ষে 100 এর সাথে 43 যোগ করতে হবে । 

কিন্তু উওর অপশনে তা না থাকায় সঠিক উত্তর পাওয়া গেল না । 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে, x একটি পূর্ণসংখ্যা যা 5 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 2 দ্বারা বিভাজ্য নয় । এখন প্রশ্ন হলো, উত্তরের কোন অপশনটি 

কখনো পূর্ণ সংখ্যা হবে না ? 

 x = 15 ধরি, কারণ 15 সংখ্যাটি 5 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিন্তু 2 দ্বারা বিভাজ্য নয় । 

এবার, আসুন অপশনগুলি Check করিঃ 

 অপশন a) এর \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{15 + 1}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\); যা পূর্ণ সংখ্যা, তাই এটি বাদ । 

 অপশন b) এর \(\frac{{\;{x^3}}}{3} = \frac{{{{(15)}^3}}}{3} = \frac{{15 \times {{15}^{2\;}}}}{3} = 5 \times 225\); এই অপশনটিও পূর্ণ সংখ্যা তাই এটি বাদ । 

অপশন c) এর \(\frac{{{x^{2\;}}}}{3} = \frac{{{{(15)}^{2\;}}}}{3} = \frac{{15 \times 15}}{3} = 75\); পূর্ণ সংখ্যা, তাই এটি বাদ । 

অপশন d) এর \(\frac{x}{6} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}\); এই অপশনটি পূর্ণ সংখ্যা নয়, তাই এটিই উত্তর হবে । 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, মুজাহিদ একটি কাজ করে 8 দিনে । অন্যদিকে আসাদ কাজটি করে 12 দিনে এবং মিথুন করে 16 

দিনে । মুজাহিদ ও আসাদ একত্রে কাজ শুরুর কিছু দিন পর কাজ ছেড়ে আসাদ চলে গেল । বাকি কাজ মুজাহিদ ও মিখুন 2 

দিনে শেষ করলো । পুরো কাজটি কত দিনে সম্পন্ন হয়েছিল ? 

(মুজাহিদ + মিথুন) এর 1 দিনের কাজ = \((\frac{1}{8} + \frac{1}{{16}}) = \frac{{2 + 1}}{{16}} = \frac{3}{{16}}\) অংশ 

(মুজাহিদ + মিথুন) এর 2 দিনের কাজ = \((\frac{3}{{16}} \times 2) = \frac{3}{8}\) অংশ 

 মুজাহিদ + আসাদ কাজ করে = \((1 - \frac{3}{8}) = \frac{{8 - 3}}{8} = \frac{5}{8}\) অংশ 

এখন, (মুজাহিদ + আসাদ) এর 1 দিনের কাজ = \((\frac{1}{8} + \frac{1}{{12}}) = \frac{{3 + 2}}{{24}} = \frac{5}{{24}}\) অংশ 

অর্থাৎ (মুজাহিদ + আসাদ) একত্রে 5/24 অংশ কাজ করে = 1 দিনে 

 (মুজাহিদ + আসাদ) একত্রে 5/8 অংশ কাজ করে = \(\frac{{24 \times 5}}{{5 \times 8}}\) = 3 দিনে 

     মোট কাজ হয়েছিল = 2 + 3 = 5 দিন । 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, মঞ্জুর সিয়াদের চেয়ে 20 বছরের বড় । তবে 5 বছর পূর্বে মঞ্জুরের বয়স সিয়াদের বয়সের দ্বিগুণ ছিল । 

বর্তমানে মঞ্জুরের বয়স কত ? 

 ধরি, সিয়াদের বর্তমান বয়স x বছর 

 মঞ্জুরের বর্তমান বয়স = (x + 20) 

 প্রশ্নমতে, x + 20 - 5 = 2 (x - 5) 

    => x + 15 = 2x - 10 

   => 2x - x = 15 + 10 = 25 

     x = 25 

   সিয়াদের বয়স 25 বছর 

         এবং মঞ্জুরের বয়স = 25 + 20 = 45 বছর । 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, ABC ত্রিভূজে \(\angle \)B = \(\angle \)C এবং BC বাহুর উপর D একটি বিন্দু । অপশনের কোনটি সত্য হবে ? 

 শর্তানুযায়ী চিত্র আঁকি । 

আমরা জানি, ত্রিভূজের যেকোন দুই কোন সমান হলে তাদের সন্নিহিত বাহু দুটিও সমান হবে । 

 যেহেতু, \(\angle \)B = \(\angle \)C 

 AB = AC হবে । তাই অপশন a) এবং b) বাদ । 

 AB \( \bot \) BC এবং \(\angle \)ACD একটি সমকোণী ত্রিভুজ । 

এই ত্রিভুজে AC অতিভূজ বলে AC > AD. 

আবার, BC বাহুর উপর D একটি বিন্দু । কাজেই 

Solution: 

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, যে দুটো চেয়ারের প্রত্যেকটি 3,600 টাকা দরে বিক্রয় করা হলো । একটিতে 20% লাভ হলো এবং অপরটি 

বিক্রয় করে 20% ক্ষতি হলো । মোটের উপর কত লাভ বা ক্ষতি হলো ? 

মোট বিক্রয়মূল্য = 3,600 \( \times \) 2 = 7,200 টাকা 

 20% লাভে একটি চেয়ারের 

বিক্রয়মূল্য 120 টাকা হলে ক্রয়মূল্য = 100 টাকা 

বিক্রয়মূল্য 3,600 টাকা হলে ক্রয়মূল্য = \(\frac{{100 \times 3600}}{{120}}\) = 3,000 টাকা 

আবার, 20% ক্ষতিতে অপর চেয়ারের, 

          বিক্রয়মূল্য 80 টাকা হলে ক্রয়মূল্য = 100 টাকা 

   বিক্রয়মূল্য 3,600 টাকা হলে ক্রয়মূল্য = \(\frac{{100 \times 3600}}{{80}}\) = 4,500 টাকা 

 চেয়ার দূটি ক্রয়মূল্য = 3,000 + 4,500 = 7,500 টাকা 

    ক্ষতি হলো = 7,500 - 7,200 = 300 টাকা । 

 Shortcut: 

 সমমূল্যের দুটি জিনিসের একই % লাভ এবং ক্ষতি হলে Net এ ক্ষতি হবে = লাভ% \( \times \) ক্ষতি%/ ১০০ = 20 \( \times \) 20 / 100 = 4%  

     এখন, 4% ক্ষতিতে (100 - 4 ) বা 96 টাকায় ক্ষতি হয় = 4 টাকা 

           (3,600 + 3,600) বা 720 টাকায় ক্ষতি হয় = \(\frac{4}{{96}} \times 7,200\) = 300 টাকা 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে, 6 জন লোকের গড় ওজন 75 Kg. যদি 50 Kg ওজনের একজন লোক ঐ দল হতে চলে যায় তবে বাকি 

লোকগুলোর গড় ওজন কত হবে ? 

6 জন লোকের ওজনের সমষ্টি = 6 \( \times \) 75 = 450 কেজি 

50 কেজি ওজনের 1 জন চলে গেলে বাকি 5 জনের ওজনের সমষ্টি হবে  = 450 - 50 = 400 কেজি 

 ঐ 5 জনের ওজনের গড় হবে = 400/5 = 80 কেজি । 

 Exam Shortcut : \(\frac{{(75 \times 6) - 50}}{5} = 80\) কেজি 

Solution: 

 দেওয়া আছে, \(\frac{Q}{P} = \frac{2}{3}\) 

  => \(\frac{Q}{P} = \frac{3}{2}\)     => \(\frac{{P + Q}}{{P - Q}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = \frac{5}{1} = 5\)    [যোজন বিয়োজন করে ] 

        \\frac{{P + Q}}{{P - Q}}\) = 5 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে, একটি আয়তাকৃতির কক্ষের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ । কক্ষটির ক্ষেত্রফল 512 বর্গইঞ্চি হলে তার পরিসীমা কত ? 

ধরি, কক্ষের প্রস্থ x ইঞ্চি 

কক্ষের দৈর্ঘ্য 2x ইঞ্চি 

প্রশ্নমতে, 2x \( \times \) x = 512 

  => 2x²  = 512 

 => x²  = 512/2 

 => x²  = 256 

 => x = \(\sqrt {{{(16)}^{2\;}}} \)  = 16 

   x = 16 

 অর্থাৎ কক্ষটির প্রস্থ 16 ইঞ্চি 

কক্ষটির দৈর্ঘ্য = 2 \( \times \) 16 = 32 ইঞ্চি 

অর্থাৎ পরিসীমা = 2(32 + 16) = 2 \( \times \) 48 = 96 ইঞ্চি = 96/12 ফুট = 8 ফুট 

Solution: 

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, একটি পরীক্ষায় মোট পরীক্ষার্থীর 40% নারী । ঐ পরীক্ষায় নারী পরীক্ষার্থীর 40% এবং পুরুষ পরীক্ষার্থী 30% 

পাস করল । শতকরা পাসের হার কত ? 

দেয়া আছে, নারী পরীক্ষার্থীর সংখ্যা 40 জন 

পুরুষ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = 100 - 40 = 60 জন 

এখন, নারী পরীক্ষার্থী পাস করে = (40 এর 40%) = \(40 \times \frac{{40}}{{100}}\) = 16 জন 

এবং পুরুষ পরীক্ষার্থী পাস করে = (60 এর 30%) = \(60 \times \frac{{30}}{{100}}\) = 18 জন 

       মোট পরীক্ষার্থী পাস করে = 16 + 18 = 34 জন 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে, দুটি পূর্ণ সংখ্যার গুণফল বিজোড় হবার সম্ভাবনা কত যখন সংখ্যাগুলোকে 1 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর 

মধ্যে থেকে Randomly select করা হয় । 

 Shortcut:  আমরা জানি, Probability = অনুকূল ফলাফল সংখ্যা/মোট ফলাফল সংখ্যা  

যেকোন সংখ্যাকে জোড় দিয়ে গুণ করলে জোড়ই পাওয়া যাবে, তাই দুটি সংখ্যাই বিজোড় হবে । 

এখানে অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = 1 থেকে 20 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 20 টি । 

পরপর দুইবার বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = \(\frac{{10}}{{20}} \times \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{4}\)

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে 3, 9 এবং 4 সংখ্যাগুলোর চতুর্থ সমানুপাতী কত হবে ? 

 আমরা জানি, ১ম রাশি/২য় রাশি = ৩য় রাশি/৪র্থ রাশি 

     => 3/9 = 4/৪র্থ রাশি 

     ৪র্থ রাশি = 12 

Solution: 

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোনটি? 

একমাত্র অপশন d) ই সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর অনুপাত হবে 

কারণ এটি পিথাগোরাসের সূত্রটির সমর্থন করে । 

কেননা, আমরাজানি, (অতিভুজ)²  = (ভূমি)²  + (লম্ব)²  

 => (13)²  = (12)²  + (5)²  

অর্থাৎ 169 = 144 + 25 = 169  

কিন্তু অন্য কোন অপশন দ্বারা এই সূত্র প্রতিপাদন করা যায় না । 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, 20m দীর্ঘ এবং 15m প্রস্থ একটি পানির ট্যাংকে 30 জন লোক গোসল করল । প্রত্যেক লোক কর্তৃক 

গড়ে অপসারিত পানির পরিমাণ 2m³ হলে ট্যাংকে পানির উচ্চতা কত ?  

 30 জন লোক কর্তৃক মোট অপসারিত পানির পরিমাণ = 2 \( \times \) 30 = 60m³  

  ট্যাংকে পানির উচ্চতা = \(\frac{{60}}{{20 \times 15}} = \frac{1}{5}m = \frac{1}{5} \times 100cm\) = 20 cm 

Solution: 

আমাদেরকে বের করতে হবে, \({x^{2\;}} - \frac{1}{{{x^{2\;}}}}\) = \((x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})\) .......... (1) 

 অর্থাৎ আমরা \((x + \frac{1}{x})\) এবং \((x - \frac{1}{x})\) এর মান নিচের সমীকরণের সাহায্যে বের করবো ।

    x²  - 3x + 1 = 0 

 => \(\frac{{{x^2}}}{x} - \frac{{3x}}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0}{x}\)         [x দ্বারা ভাগ করে ] 

 => \(x - 3 + \frac{1}{x} = 0\)

=> \(x + \frac{1}{x} = 3\)                  [পক্ষান্তর করে ] ......... (2) 

=>  \({(x + \frac{1}{x})^{2\;}} = {(3)^{2\;}}\)         [ বর্গ করে ]  

=> \({(x - \frac{1}{x})^{2\;}} + 4 \times x \times \frac{1}{x} = 9\)

=> \({(x - \frac{1}{x})^{2\;}} + 4 = 9\)

=> \({(x - \frac{1}{x})^{2\;}} = 9 - 4\)

=> \({(x - \frac{1}{x})^{2\;}} = 5\) 

        \((x - \frac{1}{x}) = \sqrt 5 \)        [বর্গমূল করে ] .......... (3) 

 অর্থাৎ আমরা পেলাম \((x + \frac{1}{x}) = 3\) এবং \((x - \frac{1}{x}) = \sqrt 5 \) 

      \({x^2} - \frac{1}{{{x^2}}} = (x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) = 3 \times \sqrt 5  = 3\sqrt 5 \)

Solution:  

 প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, দুটি অংক দিয়ে যে সংখ্যা হবে, তা ঐ সংখ্যার  \(\frac{5}{6}\) অংশ হবে যখন অংক দুটি স্থান পরিবর্তন করবে ।

 যদি অংক দুটির পার্থক্য 1 হয় তবে সংখ্যাটি বের করতে হবে ?  

ধরি, একক স্থানীয় অংক = x এবং দশক স্থানীয় অংক = y

 সংখ্যাটি = 10y + x

 ১ম শর্তানুসারে, সংখ্যাটির \(\frac{5}{6}\) অংশ হবে যখন অংশ দুটি স্থান পরিবর্তন করবে ।  

সুতরাং \(\frac{5}{6}\) (10y +x ) = y + 10x  => y = \(\frac{5}{4}x\) ............. (1) 

 ২য় শর্তানুসারে, অংক দুটির পার্থক্য হবে = 1 

 সুতরাং x - y = 1  => x = 4                 [ y = \(\frac{5}{4}x\) বসিয়ে ] 

 (1) নং সমীকরণ হতে y = 5             [ x = 4 বসিয়ে ] 

 সুতরাং সংখ্যাটি হবে = 10y +x = 10 \( \times \) 5 + 4 = 54  

 Alternative Solution: 

 সংখ্যাটিকে উল্টালে Reversed সংখ্যা মূল সংখ্যার \(\frac{5}{6}\) অংশ হবে অর্থাৎ ছোট হবে । সেই হিসেবে অপশন a) ও c) বাদ ।

এরপর মূল সংখ্যার \(\frac{5}{6}\) অংশ Reversed সংখ্যা । তাই মূল সংখ্যাকে অবশ্যই 6 দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যাবে । 

তাই অপশন d) বাদ । অপশন b) এর 45 হবে কারণ \(54 \times \frac{5}{6} = 45\)  

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ সরলরেখার \(\frac{1}{3}\)  অংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কতগুণ ?

মনেকরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য 3a একক

ঐ সরলরেখার \(\frac{1}{3}\) অংশ হলো = (3a এর \(\frac{1}{3}\) ) = a একক

এখানে সরলরেখার দৈর্ঘ্য (3a) ই হবে বর্গক্ষেত্রের একবাহু ।  আবার সরলরেখার \(\frac{1}{3}\)  অংশ বা a এর উপর বর্গক্ষেত্র আঁকলে

 সেক্ষেত্রে বর্গক্ষেত্রের একবাহু হবে a.  

তাই সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (3a)² = 9a²  বর্গ একক

সরলরেখার \(\frac{1}{3}\) অংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²  = a²  বর্গ একক  

অতএব দেখা যাচ্ছে যে, সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র এর \(\frac{1}{3}\) অংশের অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের 9 গুণ ।  

Solution: 

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, 500 টাকার 4 বছরের সুদ এবং 600 টাকার 5 বছরের সুদ একত্রে 500 টাকা হলে সুদের হার কত ? 

 আমরাজানি, \(I = \frac{{\Pr n}}{{100}}\)     [ এখানে P = আসল; r = সুদের হার; n = বছর ] 

      তাই, \(\frac{{500 \times r \times 4}}{{100}} + \frac{{600 \times r \times 5}}{{100}}\) = 500 

       => 20r + 30r = 500 

       => 50r = 500 

           r = \(\frac{{500}}{{50}}\) = 10 

    Alternative: 500 টাকার 4 বছরের সুদ = (500 \( \times \) 4) বা, 2,000 টাকার 1 বছরের সুদ  

                      600 টাকার 5 বছরের সুদ = (600 \( \times \) 5) বা, 3,000 টাকার 1 বছরের সুদ 

                    2,000 + 3,000 = 5,000 টাকার 1 বছরের সুদ = 500 টাকা 

                                 1 টাকার 1 বছরের সুদ = \(\frac{{500}}{{5000}}\) টাকা 

                                 100 টাকার 1 বছরের সুদ = \(\frac{{500 \times 100}}{{5000}} = 10\) টাকা 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে, একটি নদীর স্রোতের গতিবেগ 4 mph. একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব যেয়ে আবার ফিরে আসতে স্রোতের অনুকূলে

একটি নৌকা যে সময় নেয়, প্রতিকূলে নৌকাটি তার দ্বিগুণ সময় নেয় । স্থির পানিতে নৌকার বেগ বের করতে হবে । 

ধরি, স্থির পানিতে নৌকার বেগ x mph 

অতএব, স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = ( x + 4) mph 

এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (x - 4) mph 

যেহেতু, অনুকূলের গতিবেগ = 2 \( \times \) প্রতিকূলের গতিবেগ । সেহেতু  

প্রশ্নমতে, x + 4 = 2 \( \times \) (x - 4) 

      => x + 4 = 2x - 8 

     => 2x - x = 8 + 4 

                x = 12 

Solution: 

      x²  - 7x + 12 < 0 

=> x²  - 4x - 3x + 12 < 0 

=> x (x - 4) - 3 (x - 4) < 0 

=> (x - 4) (x - 3) < 0 

 এখন, (x - 4) এবং (x - 3) শূন্য হতে ছোট হওয়ায় 

 এদের গুণফল Negative হবে । 

 অর্থাৎ (x - 4) এবং (x - 3) রাশি দুটির উভয়েই 

Positive বা Negative হতে পারে না । 

এখানে হয় (x - 4) (x - 3) রাশি দুটির একটি ধনাত্মক এবং 

অন্যটি ঋণাত্মক হলেই কেবল মাত্র রাশি দুটির গুণফল 0 এর থেকে ছোট 

বা ঋণাত্মক হবে । 

(x - 4) < 0 অর্থাৎ (x - 4) ঋণত্মক হলে 

x < 4 

তাহলে x - 3 > 0 

 x > 4 

 ণির্ণেয় সমাধানঃ 3 < x < 4 

আবার, (x - 4) ধনাত্মক হলে (x - 3) ঋণাত্মক হবে । তখন ভিন্ন উত্তর হবে । কিন্তু যেহেতু উত্তর মিলে গেছে তাই আর 

হিসেব করতে হবে না । 

 x এর মানকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যাবে 3 < x < 4. 

Solution: 

 Fragrance, Incense এবং Aroma এগুলো সুগন্ধ বা সুবাসের সাথে সম্পর্কিত । কিন্তু A foul smell মানে দুর্গন্ধ । 

Solution: 

উৎপাদন অপরিবর্তিত অবস্থায় দ্রব্যমূল্যের উর্ধ্বগতিকেই Inflation বলে । 

Solution: 

 প্রশ্নে বলা হচ্ছে, রেহানা বললেন যে কামালের বাবার বাবা আমার বাবা । প্রশ্ন হলো রেহানার সাথে কামালের সম্পর্ক কি ? 

 রেহেনা হলেন কামালের Aunt. 

কারণ, রেহেনার ভাইয়ের ছেলে যদি কামাল হয়, তবে কামালের বাবা হবে রেহানার ভাই । আর রেহানার ভাইকেও বাবা তো রেহানার বাবাই হবে ।

রেহানা কামালকে বলতে পারেন যে তোমার বাবার বাবা হলেন আমার বাবা । তাই রেহানা হলেন কামালের Aunt বা ফুফু । 

Solution: 

Solution: 

 Sun (সূর্য) থেকে Light (আলো) পাওয়া যায় । আর Fire (আগুন) থেকে Heat (তাপ) পাওয়া যায় । 

Solution: 

 9 + 6 \( \times \) 3 = 9 + 18 = 27 

Solution: 

 9 ব্যতীত সকলেই মৌলিক সংখ্যা । 

Solution: 

Match (খেলা) এ ভালো করলে Victory (জয়) পাওয়া যায় । আর Examination (পরীক্ষায়) এ ভালো করলে Success (সফলতা) পাওয়া যায় । 

Solution: 

 আপনাকে উওরের 27 মিলাতে হবে । তাই শেষের 6 \( \times \) 3 করলে 18 পাবেন । আর এর সাথে 9 যোগ করলে 27 পাবেন । 

 অর্থাৎ 5 \( \times \) 4 - 6  \( \div \) 3 + 1 = 20 - 2 + 1 = 21 - 2 = 19 

Solution: 

 Father, Mother কিংবা Children ছাড়াও পরিবার গঠিত হতে পারে । কিন্তু পরিবারের সদস্য ছাড়া পরিবার গঠিত হতে পারে না ।